Växelströmskretsar: reaktans och impedans

Fysik – fördjupning

En växelström byter riktning periodiskt i stället för att bara flöda åt ett håll som en likström gör. I det svenska elnätet är frekvensen 50 Hz, alltså 50 hela perioder och 100 riktningsbyten per sekund, och ström och spänning varierar sinusformat med tiden, precis som i en harmonisk svängning. Hur denna växling påverkar komponenter som spolar och kondensatorer, och hur man räknar på kretsar där allt varierar i tiden, är vad det här avsnittet handlar om.

Toppvärdet på en sinusformad storhet säger inte hur mycket energi den faktiskt levererar, eftersom storheten tillbringar det mesta av tiden under toppvärdet. I stället används effektivvärdet, det likströmsvärde som skulle ge samma värmeeffekt i ett motstånd. För en sinusform är effektivvärdet U_eff = U_topp/√2. Ett vägguttag som anges till 230 V menar effektivvärdet, medan toppvärdet faktiskt når upp emot 325 V varje period.

En spole och en kondensator motsätter sig förändringar i ström respektive spänning, och det ger upphov till en frekvensberoende motsvarighet till resistans som kallas reaktans. Induktiv reaktans X_L = 2πfL växer med frekvensen och induktansen L, medan kapacitiv reaktans X_C = 1/(2πfC) i stället minskar när frekvensen eller kapacitansen C ökar. Till skillnad från resistans omvandlar reaktans ingen energi till värme, den lagrar energin i ett magnetfält eller ett elektriskt fält under en del av perioden och lämnar tillbaka den under en annan.

I en krets med resistans, induktans och kapacitans i serie slås motstånden samman till impedansen Z = √(R² + (X_L − X_C)²), som bestämmer strömmen genom I = U/Z precis som resistansen gör i en likströmskrets. Eftersom reaktansen beter sig annorlunda än resistansen hamnar också ström och spänning i otakt, en fasförskjutning. Är X_L större än X_C släpar strömmen efter spänningen, är X_C större ligger strömmen i stället före.

Fasförskjutningen gör att en krets kan dra ström utan att all den motsvarande energin faktiskt gör nytta, vilket är ett verkligt problem för till exempel fabriker med många elmotorer. Att förstå reaktans och impedans är nödvändigt för att förklara varför växelström beter sig annorlunda än likström i allt från elnätet hemma till radiomottagarens avstämning.

Formler

U_eff = U_topp / √2

Effektivvärdet U_eff (V) för en sinusformad växelspänning är toppvärdet U_topp (V) delat med roten ur 2.

X_L = 2π · f · L

Induktiv reaktans X_L (Ω) beror på frekvensen f (Hz) och induktansen L (H). Ökar med både frekvens och induktans.

X_C = 1 / (2π · f · C)

Kapacitiv reaktans X_C (Ω) beror på frekvensen f (Hz) och kapacitansen C (F). Minskar med ökande frekvens och kapacitans.

Z = √(R² + (X_L − X_C)²)

Impedansen Z (Ω) i en seriekrets med resistans R (Ω), induktiv reaktans X_L (Ω) och kapacitiv reaktans X_C (Ω).

Det här lär du dig

Förklara skillnaden mellan likström och växelström och vad effektivvärde innebär
Beräkna effektivvärdet från toppvärdet för en sinusformad växelspänning
Beräkna induktiv reaktans X_L och kapacitiv reaktans X_C vid en given frekvens
Beräkna impedansen Z för en seriekrets med resistans, induktans och kapacitans
Avgöra om strömmen släpar efter eller ligger före spänningen i en given krets

Begrepp att kunna

Växelström: Elektrisk ström som periodiskt byter riktning, i det svenska elnätet med frekvensen 50 Hz, alltså 100 gånger per sekund, i motsats till likström som flödar åt ett håll.
Effektivvärde: Det likströmsvärde som ger samma värmeeffekt i ett motstånd som den varierande växelstorheten. För sinusform är det toppvärdet delat med √2.
Induktiv reaktans: Den frekvensberoende motsvarigheten till resistans hos en spole, X_L = 2πfL. Ökar med frekvensen och induktansen.
Kapacitiv reaktans: Den frekvensberoende motsvarigheten till resistans hos en kondensator, X_C = 1/(2πfC). Minskar när frekvensen eller kapacitansen ökar.
Impedans: Det samlade motståndet mot växelström i en seriekrets med resistans och reaktans, Z = √(R² + (X_L − X_C)²). Mäts i ohm.
Fasförskjutning: Att ström och spänning når sina toppvärden vid olika tidpunkter i en krets med reaktans, så att strömmen släpar efter eller ligger före spänningen.

Vanliga svårigheter

Blandar ihop toppvärde och effektivvärde

När ett vägguttag anges till 230 V är det effektivvärdet, inte det värde spänningen faktiskt når. Toppvärdet för 230 V effektivt är omkring 325 V, och spänningen pendlar mellan −325 V och +325 V under varje period. Att sätta in 230 V där toppvärdet krävs, eller tvärtom, ger svar som är fel med en faktor √2.

Tror att reaktans omvandlar energi till värme som resistans gör

Resistans omvandlar alltid energi till värme. Reaktans gör inte det, den lagrar energi i ett magnetfält eller ett elektriskt fält under en del av perioden och lämnar tillbaka exakt samma energi till kretsen strax efter. Spänningen över reaktansen ligger dessutom 90° ur fas med spänningen över resistansen, och därför är impedansen inte summan av resistans och reaktans utan Z = √(R² + (X_L − X_C)²).

Glömmer att induktiv och kapacitiv reaktans beror på frekvensen åt motsatt håll

X_L = 2πfL växer när frekvensen ökar, medan X_C = 1/(2πfC) minskar när frekvensen ökar. Det är lätt att av misstag använda samma riktning för båda. Vid en viss frekvens kan de till och med bli exakt lika stora, vilket gör att de tar ut varandra i impedansformeln.

I verkligheten

En fabrik med många stora elmotorer kan få betala för reaktiv effekt och installerar därför kondensatorbatterier

Motorerna är induktiva, så strömmen släpar efter spänningen. Kondensatorer kopplade parallellt med motorerna drar en ström som ligger före spänningen och tar ut en del av den eftersläpande strömmen, vilket minskar fasförskjutningen och den ström som hämtas från nätet utan att göra nytta.

En gammal radiomottagare ställs in på rätt kanal genom att vrida på en ratt kopplad till en variabel kondensator

Mottagarens LC-krets är i resonans vid den frekvens där den induktiva och den kapacitiva reaktansen är lika stora, och just den frekvensen ger en kraftig signal i kretsen. Genom att ändra kapacitansen flyttar man den frekvensen till den radiostation du vill lyssna på, medan frekvenser längre bort dämpas.

Tips

Öva växlingen mellan toppvärde och effektivvärde tills faktorn √2 ≈ 1,41 sitter utan att du behöver slå upp den. Testa själv med andra nätspänningar än 230 V för att inte bara minnas ett enda talpar.
Rita impedanstriangeln för varje uppgift: R längs en sida, (X_L − X_C) längs den andra, och Z som hypotenusan. Det gör sambandet Z = √(R² + (X_L − X_C)²) till en bild du kan se, inte bara en formel du räknar mekaniskt med.
Innan du räknar, avgör om kretsen är mest induktiv eller mest kapacitiv genom att jämföra X_L och X_C. Då vet du i förväg om strömmen ska släpa efter eller ligga före spänningen, och kan kontrollera att uträkningen stämmer med den förväntningen.

Testa dig själv

1. Vägguttaget hemma anges till 230 V. Vad är toppvärdet på spänningen ungefär?

U_topp = U_eff · √2 = 230 · √2 ≈ 325 V. Spänningen pendlar alltså mellan ungefär −325 V och +325 V under varje period, trots att det är 230 V som anges som nätspänning.

2. En seriekrets har resistansen R = 30 Ω, en spole med reaktansen X_L = 50 Ω och en kondensator med reaktansen X_C = 10 Ω. Beräkna kretsens impedans.

Z = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (50 − 10)²) = √(900 + 1 600) = √2 500 = 50 Ω. Impedansen i kretsen är 50 ohm.

3. Varför ökar induktiv reaktans med frekvensen medan kapacitiv reaktans minskar?

En spole motsätter sig snabba förändringar i strömmen, och vid högre frekvens ändras strömmen snabbare, så reaktansen X_L = 2πfL växer. En kondensator laddas och laddas ur varje period, och vid högre frekvens hinner den knappt laddas innan riktningen vänder, vilket gör att den hindrar strömmen mindre, så X_C = 1/(2πfC) minskar.

Ur kursplanen

Fysik – fördjupning · Krafter, rörelse, energi och elektromagnetism
Krafter, rörelse, energi och elektromagnetism, till exempel rörelse med luft- och vätskemotstånd, stötar i två dimensioner, rotationsrörelse, dämpad svängningsrörelse, växelströmskretsar, akustik, elektromagnetiska vågor och speciella relativitetsteorin.

Källa: Skolverket, centralt innehåll.

Bygger på

Fler ämnen: Fysik – fördjupning