Harmonisk svängning
En harmonisk svängning uppstår när en återförande kraft är proportionell mot utslaget från jämviktsläget. Det klassiska exemplet är en massa upphängd i en fjäder: ju längre du drar ut fjädern, desto hårdare drar den tillbaka, enligt Hookes lag F = −k·x, där k är fjäderkonstanten i N/m och x är utslaget i meter från jämvikt. Minustecknet visar att kraften alltid pekar mot jämviktsläget, motsatt riktning mot utslaget.
Den här typen av kraft ger upphov till en periodtid T = 2π·√(m/k), där m är massan i kilogram. En massa på 0,8 kg upphängd i en fjäder med k = 80 N/m svänger med periodtiden T = 2π·√(0,8/80) = 2π·√0,01 = 2π · 0,1 ≈ 0,63 sekunder. En tyngre massa ger längre periodtid, en styvare fjäder ger kortare, och det är kvadratroten av förhållandet mellan dem som avgör, inte förhållandet självt.
Rörelsen i tiden beskrivs av x(t) = A · sin(ωt + φ), där A är amplituden, det största utslaget från jämvikt, ω = 2π/T är vinkelfrekvensen i radianer per sekund, och φ är en fas som bestämmer var i svängningen rörelsen börjar. Hastigheten och accelerationen är också sinusformade, men förskjutna i tiden: när utslaget är som störst är hastigheten noll, och när föremålet passerar jämviktsläget är hastigheten som störst.
Periodtiden beror bara på massan och fjäderkonstanten, aldrig på amplituden. Drar du ut fjädern dubbelt så långt möter massan en dubbelt så stor kraft tillbaka, så den längre vägen och den större kraften tar ut varandra exakt. En stor och en liten svängning på samma fjäder och massa tar därför precis lika lång tid.
Under hela svängningen växlar energin mellan rörelseenergi och lägesenergi, räknad från jämviktsläget. Vid det största utslaget är farten noll och all energi är lägesenergi, och i jämviktsläget är farten som störst och all energi är rörelseenergi. Utan friktion eller luftmotstånd förblir den sammanlagda mekaniska energin konstant genom hela svängningen.
Formler
F = −k · x
Hookes lag. F är den återförande kraften i newton, k är fjäderkonstanten i N/m, x är utslaget från jämvikt i meter. Minustecknet visar att kraften motverkar utslaget.
T = 2π · √(m/k)
Periodtiden T i sekunder för en massa m i kilogram på en fjäder med fjäderkonstanten k i N/m. Beror inte på amplituden.
x(t) = A · sin(ωt + φ)
Positionen x vid tiden t, med amplituden A i meter, vinkelfrekvensen ω = 2π/T i rad/s och fasen φ som anger startläget i svängningen.
Det här lär du dig
- Förklara vad som gör en svängning harmonisk: en återförande kraft proportionell mot utslaget
- Använda F = −k·x och T = 2π·√(m/k) för att beräkna kraft och periodtid
- Beskriva rörelsen med x(t) = A·sin(ωt + φ) och förklara vad amplitud och vinkelfrekvens betyder
- Förklara varför amplituden inte påverkar periodtiden
- Beskriva hur energin växlar mellan rörelseenergi och lägesenergi under svängningen
Begrepp att kunna
- Harmonisk svängning
- Periodisk rörelse där en återförande kraft är proportionell mot utslaget från jämviktsläget. Resultatet är en sinusformad rörelse.
- Återförande kraft
- En kraft som alltid pekar mot jämviktsläget och ökar i styrka ju längre bort utslaget är. I en fjäder ges den av F = −k·x.
- Fjäderkonstant
- Mått på en fjäders styvhet, betecknas k och mäts i N/m. En större fjäderkonstant ger en styvare fjäder och kortare periodtid.
- Amplitud
- Det största utslaget från jämviktsläget under svängningen, betecknas A. Påverkar hur långt rörelsen går, men inte hur lång tid en svängning tar.
- Vinkelfrekvens
- Betecknas ω, mäts i radianer per sekund och är relaterad till periodtiden genom ω = 2π/T. Avgör hur snabbt sinuskurvan för rörelsen upprepas.
Vanliga svårigheter
Glömmer minustecknet i Hookes lag
Hookes lag skrivs F = −k·x, inte F = k·x. Minustecknet visar att kraften alltid motverkar utslaget och pekar tillbaka mot jämviktsläget. Utan det skulle kraften driva massan ännu längre bort i stället för att dra den tillbaka.
Tror att amplituden påverkar periodtiden
En vanlig tanke är att en stor svängning borde ta längre tid än en liten. Men i harmonisk svängning tar en större återförande kraft exakt ut den längre vägen vid stort utslag, så periodtiden T = 2π·√(m/k) blir densamma oavsett hur långt fjädern dras ut.
Blandar ihop periodtid, frekvens och vinkelfrekvens
Periodtiden T mäts i sekunder och är tiden för en hel svängning. Frekvensen f = 1/T mäts i Hz och anger svängningar per sekund. Vinkelfrekvensen ω = 2π/T mäts i radianer per sekund och används inne i sinusfunktionen. De tre storheterna hör ihop men är inte samma tal.
I verkligheten
En fjärdedel av en bils massa, cirka 300 kg, vilar på en hjulfjäder med fjäderkonstanten 15 000 N/m.
Den delen av bilen svänger efter en stöt med periodtiden T = 2π·√(300/15 000) ≈ 0,89 sekunder. Konstruktörer väljer fjäderkonstanten så att den resulterande periodtiden känns bekväm och inte stämmer med gupp som kommer i samma takt.
En person på 70 kg hoppar lätt på en elastisk brygga som beter sig ungefär som en fjäder med fjäderkonstanten 10 000 N/m.
Bryggan svänger med periodtiden T = 2π·√(70/10 000) ≈ 0,53 sekunder efter varje hopp. En lättare person eller en stelare brygga skulle ge en kortare periodtid och snabbare studsar.
Tips
- Memorera riktningen på beroendet i stället för hela formeln: periodtiden växer med kvadratroten av massan och minskar med kvadratroten av fjäderkonstanten. Då kan du snabbt avgöra om ett svar verkar rimligt.
- Rita x(t), v(t) och a(t) som tre sinuskurvor under varandra för samma svängning. Se var varje kurva är noll och var den är som störst, så blir fasförskjutningen mellan dem tydlig.
- Kontrollera ett uträknat svar mot energin i vändlägena och i jämviktsläget: vid det största utslaget ska farten vara noll, och i jämviktsläget ska farten vara som störst. Stämmer inte det i din lösning har något räknats fel.
Testa dig själv
1. En massa på 1 kg hänger i en fjäder med fjäderkonstanten 16 N/m. Vilken är periodtiden?
T = 2π·√(m/k) = 2π·√(1/16) = 2π · 0,25 ≈ 1,57 sekunder.
2. Varför tar en stor svängning i ett fjäder–massa-system precis lika lång tid som en liten, trots att massan rör sig mycket längre i den stora svängningen?
Vid ett stort utslag är den återförande kraften också stor, enligt F = −k·x, så massan accelereras hårdare tillbaka. Den längre vägen och den starkare kraften tar ut varandra exakt, så periodtiden T = 2π·√(m/k) blir densamma oberoende av amplituden.
3. Vad händer med periodtiden om du byter till en fjäder med fyra gånger så stor fjäderkonstant, men behåller samma massa?
Periodtiden blir hälften så lång. Eftersom T = 2π·√(m/k) innehåller kvadratroten av 1/k, ger en fyrdubbling av k en halvering av √(1/k) och därmed en halvering av T.
Ur kursplanen
- Fysik nivå 2 · Krafter och rörelse
Harmonisk svängning och centralrörelse samt tvådimensionell rörelse i gravitationsfält och i elektriska fält.
Källa: Skolverket, centralt innehåll.
Hänger ihop med
Bygger på
Träna vidare – gratis
Det här ämnet har inga egna träningsuppgifter än. De här närliggande ämnena har lösta exempel och uppgifter som anpassar sig efter dig: