Pendelrörelse

En matematisk pendel är en idealiserad modell: en punktmassa upphängd i en viktlös, outtöjbar tråd, som svänger fram och tillbaka under tyngdkraftens inverkan. En riktig pendel, som en tung kula i ett snöre eller lodet i ett pendelur, följer modellen mycket väl så länge tråden är lätt och utslaget inte är för stort.

Det mest överraskande med pendelrörelse är att periodtiden, tiden för en fullständig svängning fram och tillbaka, inte beror på massan alls. En tung och en lätt pendel med samma längd svänger i exakt samma takt, eftersom en tyngre massa både dras hårdare av gravitationen och är trögare att sätta i rörelse, och de två effekterna tar ut varandra.

Periodtiden ges av T = 2π · √(l/g), där l är pendellängden i meter, mätt från upphängningspunkten till massans tyngdpunkt, och g ≈ 9,82 m/s² är tyngdaccelerationen. Formeln gäller för små utslag, ungefär upp till 15–20 grader från vertikalen. En pendel på 1 meter har periodtiden cirka 2,0 sekunder, och en pendel på 4 meter cirka 4,0 sekunder: längden fyrdubblas men periodtiden bara dubblas, eftersom det är kvadratroten av längden som räknas, inte längden själv.

Den här egenskapen gjorde pendeln till ett av de första riktigt exakta tidmätningsinstrumenten. Enligt en välkänd berättelse lade Galilei märke till att en ljuskrona som svängde i en kyrka tog samma tid per svängning oavsett hur långt den svängde. Egenskapen utnyttjas i pendeluret, som Christiaan Huygens byggde på 1600-talet: en pendel på ungefär en meter ger en periodtid på omkring 2 sekunder, så att varje sving tar en sekund, lagom för att styra ett urverk. En gunga på en lekplats följer samma princip, bara med en periodtid som beror på kedjans längd i stället.

I verkligheten saktar friktion i upphängningen och luftmotstånd gradvis ner svängningen, så att utslaget blir mindre för varje cykel. Den förändringen hör till en egen del av fysiken. Så länge frågan bara gäller periodtiden, och utslaget är litet, räcker modellen för den matematiska pendeln mycket bra.

Formel

T = 2π · √(l/g)

Periodtiden T i sekunder för en matematisk pendel med längden l i meter, vid tyngdaccelerationen g ≈ 9,82 m/s². Gäller för små utslag, oberoende av massan.

Det här lär du dig

Förklara vad en matematisk pendel är och vilka förenklingar modellen bygger på
Använda formeln T = 2π · √(l/g) för att beräkna periodtiden
Förklara varför periodtiden inte beror på massan
Avgöra när villkoret om små utslag gäller och vad som händer om det inte gör det

Begrepp att kunna

Matematisk pendel: En idealiserad modell: en punktmassa upphängd i en viktlös, outtöjbar tråd, som svänger fram och tillbaka under tyngdkraftens inverkan.
Periodtid: Tiden för en fullständig svängning fram och tillbaka. Betecknas T och mäts i sekunder.
Pendellängd: Avståndet från upphängningspunkten till pendelmassans tyngdpunkt. Den enda egenskapen hos pendeln, utöver g, som avgör periodtiden.
Litet utslag: En svängningsvinkel på ungefär högst 15–20 grader från vertikalen. Under denna gräns är periodtiden i praktiken oberoende av hur stort utslaget är.

Vanliga svårigheter

Tror att massan påverkar periodtiden

Det känns rimligt att en tyngre pendelkula borde svänga långsammare eller snabbare, men periodtiden innehåller ingen massa alls. En tung och en lätt pendel med samma längd svänger i exakt samma takt, eftersom större gravitationskraft och större tröghet hos den tyngre massan tar ut varandra.

Tror att periodtiden är proportionell mot längden

Det är lätt att anta att en dubbelt så lång pendel ger en dubbelt så lång periodtid. Men i formeln T = 2π·√(l/g) står längden under kvadratroten, så en fyrdubbling av längden ger bara en dubblad periodtid, inte en fyrdubblad.

Tror att formeln gäller för alla utslag

Formeln T = 2π·√(l/g) är en approximation som gäller när utslaget är litet, ungefär upp till 15–20 grader. Svänger pendeln i en mycket större vinkel blir den verkliga periodtiden längre än formeln förutsäger, eftersom rörelsen då inte längre är tillräckligt nära den form formeln bygger på.

I verkligheten

En gunga på en lekplats är ungefär 2 meter lång, mätt från upphängningen till barnets tyngdpunkt.

Periodtiden blir T = 2π·√(2/9,82) ≈ 2,84 sekunder. Det är i den här takten en vuxen behöver knuffa för att hålla gungan i gång utan att bromsa den eller göra den ryckig.

Ett mindre pendelur, till exempel ett väggur, kan ha en pendel på ungefär 0,25 meter.

Periodtiden blir T = 2π·√(0,25/9,82) ≈ 1,0 sekund, alltså ungefär en hel svängning fram och tillbaka per sekund. Urverket räknar svängningarna och tickar en gång per sving, här två gånger per sekund.

Tips

Bygg två pendlar med tydligt olika längd, till exempel 25 centimeter och 1 meter, och räkna hur många svängningar var och en gör under en minut. Jämför resultatet med vad formeln T = 2π·√(l/g) förutsäger.
Gissa innan du räknar om svaret ska bli större eller mindre: en längre pendel ger alltid en längre periodtid, men aldrig lika mycket längre som längden själv ökat, eftersom det är kvadratroten som avgör.
Mät periodtiden genom att ta tiden för tio hela svängningar och dela resultatet med tio, i stället för att försöka mäta en enda svängning. Det minskar mätfelet betydligt.

Testa dig själv

1. En pendel är 1,5 meter lång. Vilken är dess periodtid? Använd g ≈ 9,82 m/s².

T = 2π·√(l/g) = 2π·√(1,5/9,82) = 2π·√0,1528 ≈ 2π · 0,391 ≈ 2,46 sekunder.

2. Varför svänger en tung pendel och en lätt pendel med samma längd i exakt samma takt?

En tyngre pendelmassa dras av en större gravitationskraft, men den har också en större tröghet som gör den svårare att sätta i rörelse och svårare att bromsa. De två effekterna tar ut varandra exakt, så periodtiden blir oberoende av massan och beror bara på längden och g.

3. Vad händer med periodtiden om du fyrdubblar pendelns längd?

Periodtiden dubblas, inte fyrdubblas. Eftersom T = 2π·√(l/g) innehåller kvadratroten av längden, ger en fyrdubbling av l en fördubbling av √l och därmed en fördubbling av T.

Ur kursplanen

Fysik nivå 2 · Krafter och rörelse
Harmonisk svängning och centralrörelse samt tvådimensionell rörelse i gravitationsfält och i elektriska fält.
Fysik – fördjupning · Krafter, rörelse, energi och elektromagnetism
Krafter, rörelse, energi och elektromagnetism, till exempel rörelse med luft- och vätskemotstånd, stötar i två dimensioner, rotationsrörelse, dämpad svängningsrörelse, växelströmskretsar, akustik, elektromagnetiska vågor och speciella relativitetsteorin.

Källa: Skolverket, centralt innehåll.

Bygger på

Träna vidare – gratis

Det här ämnet har inga egna träningsuppgifter än. De här närliggande ämnena har lösta exempel och uppgifter som anpassar sig efter dig: