Mattegrafen

Elastisk energi

En fjäder som trycks ihop eller dras ut lagrar elastisk energi: E = k·x²/2, där k är fjäderkonstanten i N/m och x är hur långt fjädern är deformerad, i meter. Till skillnad från fjäderkraften F = k·x, som växer rakt proportionellt mot x, växer energin med kvadraten på x.

Anledningen är att kraften inte är konstant under hela hoptryckningen – den ökar hela tiden från noll. Den genomsnittliga kraften under hela rörelsen är bara halva den maximala, vilket är där faktorn en halv i formeln kommer från. Trycker du ihop en fjäder dubbelt så långt lagras därför fyra gånger så mycket energi, inte bara dubbelt.

Enheterna är en vanlig källa till fel. Fjäderkonstanten anges ibland i kN/m och måste multipliceras med 1 000 för att bli N/m, och sträckan är ofta given i centimeter och måste delas med 100 för att bli meter. Glömmer du omvandlingen av k blir svaret fel med en faktor 1 000, och eftersom x kvadreras blir glömda centimeter ett fel med en faktor 10 000.

Elastisk energi är nära släkt med lägesenergi – båda är lagrad energi som kan frigöras och omvandlas till rörelse. Det är principen bakom allt från studsmattor och bågskytte till enkla fjädermekanismer i leksaker och verktyg. Släpper du fjädern fritt omvandlas den lagrade energin till rörelseenergi hos det den skjuter iväg, så länge inget går förlorat som värme eller ljud på vägen.

Formel

E = k·x²/2

En fjäder som trycks ihop eller dras ut sträckan x lagrar energin E = k·x²/2. Sätt in x i meter och k i N/m; förväxla inte energin med fjäderkraften F = k·x.

elastisk energi (E) mäts i J.

Det här lär du dig

  • Beräkna elastisk energi med E = k·x²/2
  • Omvandla fjäderkonstanten från kN/m till N/m och sträckan från cm till m
  • Förklara varför energin växer med kvadraten på hoptryckningen
  • Skilja fjäderkraften F = k·x från den lagrade energin E = k·x²/2
  • Tillämpa elastisk energi på fjädrar i vardagliga föremål

Lösta exempel

Exempel 1

När locket på en gubbe-i-lådan stängs trycks fjädern i den ihop 12 cm. Fjäderkonstanten är 220 N/m. Hur mycket elastisk energi lagras i fjädern?

  1. E = k·x²/2
  2. 12 cm = 0,12 m. E = 220 N/m · (0,12 m)² / 2
  3. E = 1,584 J
  4. E ≈ 1,6 J

Svar: 1,6 J

Exempel 2

I en bilverkstad trycks en ny spiralfjäder till en bils fjädring ihop 2,6 cm i en fjäderpress. Fjäderkonstanten är 27 kN/m. Hur mycket elastisk energi lagras i fjädern?

  1. E = k·x²/2
  2. 2,6 cm = 0,026 m; 27 kN/m = 27 000 N/m. E = 27 000 N/m · (0,026 m)² / 2
  3. E = 9,126 J
  4. E ≈ 9,1 J

Svar: 9,1 J

Uträkningarna är kontrollerade automatiskt, både enheter och värdesiffror.

Vanliga svårigheter

Glömmer att kvadrera sträckan x

Formeln är E = k·x²/2, där sträckan ska upphöjas i två innan den multipliceras med fjäderkonstanten. Räknar du E = k·x/2 utan kvadraten blir svaret fel. När x är mindre än 1 m är x² mindre än x, så svaret blir för stort, och felet växer ju mindre hoptryckningen är.

Glömmer divisionen med 2

Energin är E = k·x²/2, inte E = k·x². Divisionen med 2 kommer från att fjäderkraften växer linjärt under hoptryckningen, så den genomsnittliga kraften bara är hälften av den maximala. Utan division blir svaret dubbelt så stort som det verkliga.

Räknar ut fjäderkraften i stället för energin

F = k·x ger kraften som krävs för att hålla fjädern i ett visst läge, medan E = k·x²/2 ger den lagrade energin. De två formlerna liknar varandra men svarar på helt olika frågor – läs noga om uppgiften frågar efter kraft eller energi.

I verkligheten

En studsmatta har fjädrar med den sammanlagda fjäderkonstanten 5 000 N/m och trycks ihop 0,30 m när någon hoppar ner på den

E = 5 000 N/m · (0,30 m)² / 2 = 225 J. Det är energin som lagras i fjädrarna i det ögonblick nedtryckningen är som störst, och som sedan skjuter tillbaka hopparen uppåt.

En leksakspistol har en fjäder med konstanten 150 N/m som dras tillbaka 8,0 cm innan den skjuts av

Med x = 0,080 m blir E = 150 N/m · (0,080 m)² / 2 = 0,48 J. Det är en bråkdel av energin i en studsmatta, men fullt tillräckligt för att skjuta iväg en lätt leksakspil några meter.

Tips

  • Räkna ut x² som ett eget steg innan du multiplicerar med k – skriv till exempel (0,12 m)² = 0,0144 m² separat, så glömmer du inte kvadraten.
  • Omvandla fjäderkonstanten till N/m och sträckan till meter innan du rör formeln – annars är det lätt att missa en av omvandlingarna mitt i uträkningen.
  • Dubbelkolla vilken fråga du svarar på: ordet kraft hör till F = k·x, ordet energi eller lagrad hör till E = k·x²/2.

Ur kursplanen

  • Fysik nivå 1a1 · Energi, energiresurser och elektromagnetism

    Olika energiformer, däribland mekanisk energi och elektrisk energi.

  • Fysik nivå 1b · Energi, energiresurser och elektromagnetism

    Olika energiformer, däribland mekanisk energi, elektrisk energi och kärnenergi.

  • Fysik nivå 2 · Krafter och rörelse

    Harmonisk svängning och centralrörelse samt tvådimensionell rörelse i gravitationsfält och i elektriska fält.

Källa: Skolverket, centralt innehåll.

Hänger ihop med

Bygger på

Träna på elastisk energi – gratis

Uppgifterna anpassar sig efter hur det går och visar var du behöver träna mer.

Börja träna