En funktion är egentligen väldigt enkel: du matar in ett tal, regeln gör något med det, och du får ett tal ut. Det är hela grejen. Men för att kunna prata om funktioner på ett precist sätt behöver vi namn på de två samlingarna av tal — vilka som får matas in (definitionsmängden) och vilka som faktiskt kan komma ut (värdemängden). De är inte samma sak, och det är poängen.
I Matte 1b representerar du funktioner på fyra olika sätt: med ord, med ett funktionsuttryck (en formel), med en tabell och med en graf. Varje sätt visar samma sak ur olika vinklar, och ofta klickar förståelsen när du rör dig mellan dem. Du kanske förstår grafen men inte formeln — eller tvärtom — och det är helt normalt.
En sak du behöver ha klart för dig: varje x-värde i en funktion får ge exakt ett y-värde. Inte två, inte tre — ett. Det är vad som skiljer en funktion från ett godtyckligt samband. Det vertikala linjetestet på en graf är det snabbaste sättet att kontrollera detta: drar du en lodrät linje och den skär grafen på mer än ett ställe är det ingen funktion.
Ur kursplanen: Begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd. Representationer av funktioner i form av ord, funktionsuttryck, tabeller och grafer. Digitala metoder för att skapa funktionsgrafer.
Det här lär du dig
- ✓Förklara vad en funktion är och vad som skiljer den från ett godtyckligt samband
- ✓Bestämma definitionsmängden och värdemängden för enkla funktioner
- ✓Representera en funktion som formel, tabell och graf
- ✓Avgöra om en graf representerar en funktion med hjälp av det vertikala linjetestet
- ✓Skapa och tolka funktionsgrafer med digitala verktyg
Vanliga utmaningar
Blandar ihop definitionsmängd och värdemängd
De är två fundamentalt olika saker. Definitionsmängden är vilka värden du stoppar in (x). Värdemängden är vilka värden som faktiskt kommer ut (y). Tänk dig en maskin: du matar in ägg (definitionsmängd), ut kommer omelett (värdemängd). Inte samma sak.
Skriver enskilda värden istället för intervall
När definitionsmängden är alla heltal från 1 till 5 skriver du x ∈ [1, 5], inte x = 1, 2, 3, 4, 5. Rita en tallinje, markera start och slut, och skriv sedan intervallet i matematisk notation.
Tror att ett x kan ge flera y-värden
I en funktion ger varje x-värde exakt ett y-värde. Dra en lodrät linje genom grafen — skär den mer än en gång är det ingen funktion. Det är det vertikala linjetestets enda uppgift.
Matte i vardagen
Telefonabonnemang
Datamängden du använder (x GB) ger ett pris (y kr). Du kan inte använda minus tre GB, så definitionsmängden börjar vid 0. Varje datamängd ger exakt ett pris — ett klassiskt funktionssamband.
Fitnesstracker
Din klocka kopplar löptid (x minuter) till distans (y km). Du kan inte springa i negativ tid, så definitionsmängden är x ≥ 0. Varje tid ger exakt en uppmätt distans.
Tips
- 💡Hitta på en egen funktion — till exempel 'ta ett tal, multiplicera med 3, subtrahera 1' — och testa fem olika inmatningar. Det är snabbare att förstå med egna händer än att läsa en definition.
- 💡Använd det vertikala linjetestet varje gång du är osäker: dra en lodrät linje med en penna — skär den kurvan på mer än ett ställe är svaret att det inte är en funktion.
- 💡Skriv alltid definitionsmängden och värdemängden med intervallnotation, aldrig som en lista med enskilda tal. Rita en tallinje som hjälp.
Exempeluppgifter
- $p(x)=(\frac{1}{3}x)^{3}−3$
- $g(x)=f(5x)$
- $[0,100]$
Testa dina kunskaper
Gör en gratis diagnos och se exakt var du behöver träna mer inom begreppen funktion, definitionsmängd och.