Begreppen oberoende och beroende händelse

Matte 1a

Varje gång du kastar en tärning är sannolikheten för en sexa 1/6 — oavsett vad de fem föregående kasten visade. Tärningen har inget minne. Det är vad oberoende händelser innebär: resultatet av det ena påverkar inte det andra. Men om du drar ett kort ur en kortlek och inte lägger tillbaka det är situationen annorlunda. Nu är det ett kort färre i leken, vilket ändrar sannolikheten för varje efterföljande drag. Det är beroende händelser.

Distinktionen verkar enkel men hjärnan protesterar naturligt. Om en myntkastning gett krona fem gånger på rad känns det som att klave "måste" komma snart. Det kallas representativitet-bias och är ett av de vanligaste felen i sannolikhetstänkande. Faktum är att varje kast är oberoende av de förra: sannolikheten för krona vid sjätte kastet är fortfarande exakt 0,5.

Komplementhändelsen är enklare än den låter: om sannolikheten för att något händer är P, är sannolikheten för att det inte händer (1 − P). Det ser trivialt ut, men komplementregeln är ett kraftfullt redskap när du räknar komplicerade sannolikheter — ibland är det lättare att räkna ut vad som inte händer och dra slutsatsen om vad som gör det.

Ur kursplanen: Begreppen oberoende och beroende händelse samt komplementhändelse. Metoder för att beräkna sannolikheter i flera steg, inklusive exempel från spel, risk- och säkerhetsbedömningar.

Det här lär du dig

✓Avgöra om händelser är oberoende eller beroende av varandra
✓Beräkna sannolikheten för att två oberoende händelser inträffar (multiplicera sannolikheterna)
✓Beräkna sannolikheter för beroende händelser med hänsyn till förändrad population
✓Använda komplementhändelse för att förenkla beräkningar
✓Känna igen och undvika representativitet-bias

övningstyper

∞

genererade uppgifter

anpassad svårighet

Vanliga utmaningar

Tror att slumpen 'balanserar ut'

Fem kronor på rad och hjärnan viskar att klave måste komma härnäst. Men myntet minns ingenting — varje kast är oberoende av de förra. Sannolikheten för krona vid sjätte kastet är fortfarande 0,5. Gör experimentet i praktiken för att se det med egna ögon, inte bara tro det.

Multiplicerar när man ska addera, eller tvärtom

'Och' (båda händelserna inträffar) → multiplicera sannolikheterna. 'Eller' (minst en inträffar) är mer komplicerat — ofta enklast via komplementet. Rita ett träddiagram: varje gren är ett möjligt utfall och du multiplicerar längs en gren för att följa en specifik väg.

Blandar ihop komplementet för enkla och sammansatta händelser

Komplementet till 'regnar dag 1 OCH dag 2' (0,4 × 0,4 = 0,16) är inte 0,16 vändt om. Det är '(regnar inte dag 1) OCH (regnar inte dag 2)' = 0,6 × 0,6 = 0,36. Rita trädet och summera alla grenar utom den du inte vill ha.

Matte i vardagen

Du drar ett ess ur en kortlek (4/52 chans). Du lägger inte tillbaka kortet. Vad är sannolikheten att nästa kort också är ett ess?

Nu är det 3 ess kvar av 51 kort: 3/51. Det är beroende händelser — det första draget ändrade förutsättningarna för det nästa.

En fabrik har 2 % chans att en produkt är defekt. Vad är sannolikheten att minst en av tio produkter är defekt?

Enklast via komplementet: sannolikheten att INGEN är defekt är 0,98¹⁰ ≈ 0,817. Alltså är sannolikheten för minst en defekt 1 − 0,817 ≈ 0,183, ungefär 18 %.

Tips

💡Ställ dig alltid frågan: 'Ändras förutsättningarna efter den första händelsen?' Om ja är de beroende, om nej är de oberoende. Den frågan räcker för att sortera de flesta fall.
💡Rita ett träddiagram för sannolikheter i flera steg. Det visar vilka grenar du ska multiplicera längs och hur populationen minskar vid beroende händelser.
💡Använd komplementet när det är krångligt att räkna sannolikheten direkt. 'Minst en gång' är ofta enklast som 1 minus sannolikheten att det aldrig händer.

Exempeluppgifter

parameter
Vad är sannolikheten att Felicity läser matematik och talteknik? Beräkna [EQ0]. Vad är sannolikheten att Felicity läser matematik eller talteknik? Beräkna [EQ1]. Är händelserna M och S oberoende? Gäller [EQ2]? Är händelserna M och S ömsesidigt uteslutande? Gäller [EQ3]?
Se informationen i [EQ0]. Låt P betyda att testet blir positivt. Givet att en kvinna utvecklar sjukdomen, vad är sannolikheten att hon testar positivt? Beräkna P(P|B) = 1 − P(N|B). Vad är sannolikheten att en kvinna utvecklar sjukdomen och testar positivt? Beräkna P(B AND P) = P(P|B)P(B). Vad är sannolikheten att en kvinna inte utvecklar sjukdomen? Beräkna P(B′) = 1 − P(B). Vad är sannolikheten att en kvinna testar positivt för sjukdomen? Beräkna P(P) = 1 − P(N).