Begreppet geometrisk summa

Matte 3b

Sätt in 1 000 kr på ett sparkonto med 3 % ränta. Efter ett år har du 1 030 kr. Nästa år 1 030 × 1,03 = 1 060,90 kr. Sedan 1 060,90 × 1,03 = 1 092,73 kr. Varje år multipliceras beloppet med samma faktor, 1,03 — och om du vill veta totalt upparbetat kapital efter 20 år kan du inte bara addera för hand. Det är en geometrisk summa, och det finns en formel för det.

En geometrisk summa är en summa av termer där varje term är föregående multiplicerad med ett fast tal — kvoten r. Formeln S = a · (rⁿ−1)/(r−1) ger dig summan direkt. Men innan du stoppar in tal i formeln behöver du identifiera tre saker: startvärdet a, kvoten r och antalet termer n. Det är n som lurar folk: en summa från 2⁰ till 2¹⁰ har 11 termer, inte 10. Räkna dem explicit om du är osäker.

Det finns ett specialfall som är värt att förstå ordentligt: om |r|<1 konvergerar en oändlig geometrisk summa mot ett ändligt värde. Summan 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + ... bildar aldrig ett oändligt stort tal — den kryper mot 2. Rita det på en tallinje så syns mönstret direkt, och formeln S = a/(1−r) ger svaret.

Ur kursplanen: Begreppet geometrisk summa. Metoder för att bestämma geometriska summor.

Det här lär du dig

✓Skilja geometrisk summa från aritmetisk summa
✓Identifiera a, r och n i ett givet uttryck
✓Beräkna geometriska summor med formeln
✓Avgöra om en oändlig geometrisk summa konvergerar och beräkna dess gränsvärde

övningstyper

∞

genererade uppgifter

anpassad svårighet

Vanliga utmaningar

Blandar ihop geometrisk och aritmetisk summa

I en aritmetisk summa adderas samma tal varje gång; i en geometrisk multipliceras samma tal varje gång. Skriv ut de tre första stegen och fråga dig: är det + eller × ? Svaret avgör vilken formel som gäller.

Räknar fel på antalet termer

Summan 5 + 5·2 + 5·2² + ... + 5·2¹⁰ har 11 termer, inte 10, eftersom exponenten går från 0 till 10. Räkna termerna explicit om du är osäker — skriv dem en per rad.

Tror att oändliga summor alltid är oändliga

Om r=0,5 läggs det till allt mindre tal och summan stabiliseras. Formeln S=a/(1−r) gäller bara när |r|<1 — annars divergerar summan och har inget ändligt värde.

Matte i vardagen

1 000 kr sätts in på ett konto med 3 % ränta och växer med faktorn 1,03 varje år i 20 år.

Med formeln för geometrisk summa får du totalt upparbetat kapital på sekunder. Utan den måste du addera 20 enskilda belopp med hög risk för räknefel.

En smittsam sjukdom sprids så att varje smittad person smittar två nya: vecka 1: 1, vecka 2: 2, vecka 3: 4... Totalt efter n veckor: 1+2+4+...+2^(n−1) = 2ⁿ−1.

Utan den formeln kan sjukvården inte förutsäga hur många platser som behövs och inte heller fatta beslut om åtgärder i tid.

Tips

💡Skriv alltid upp de tre storheterna a, r och n på pappret, fyll i dem, och kontrollera att de stämmer innan du sätter in dem i formeln.
💡Markera kvoten mellan var och en av de tre första termerna — om det är samma tal varje gång är summan geometrisk.
💡Testa formeln mot en manuell summering av de fyra första termerna och kontrollera att du får samma svar.