Linjärt ekvationssystem
Matte 2b
Kursplaneförankrat (Lgr22/Gy25) och granskat av Mikael Fallström, grundare och ansvarig redaktör.
Två linjer i ett koordinatsystem skär varandra i exakt en punkt — och just den punkten är lösningen på ett linjärt ekvationssystem. Varje ekvation beskriver ett villkor som x och y måste uppfylla, och du letar efter det enda paret (x, y) som gör BÅDA sanna samtidigt. Det är den grafiska bilden bakom allt, och den är värd att ha klar för sig innan du börjar räkna algebraiskt.
Systemet dyker upp så fort du har två okända och två krav på dem. En biobiljett för en vuxen kostar 150 kr, en barnbiljett 80 kr. Totalt såldes 20 biljetter och kassan räknade in 2 300 kr — hur många av varje såldes? Du kan inte lösa det för x och y var för sig, för svaret hänger ihop: antalet vuxenbiljetter påverkar direkt hur stor del av kassan de stod för.
Det finns tre lösningsmetoder: grafisk (rita och se var linjerna möts), substitution (byt ut en variabel mot ett uttryck och lös) och addition/eliminering (kombinera ekvationerna tills en variabel försvinner). Alla tre ger samma svar — men de passar olika bra i olika situationer, och du lär dig att välja.
Ur kursplanen: Begreppet linjärt ekvationssystem. Metoder för att lösa linjära ekvationssystem.
Det här lär du dig
- ✓Förklara varför en lösning måste uppfylla båda ekvationerna samtidigt, inte bara en
- ✓Lösa ett 2×2-system med substitutionsmetoden
- ✓Lösa ett 2×2-system med additionsmetoden (eliminering)
- ✓Tolka lösningen grafiskt som skärningspunkten mellan två linjer
- ✓Kontrollera ett svar genom insättning i båda ekvationerna
Vanliga utmaningar
Löser bara en av ekvationerna
Du hittar ett x och y som stämmer i den första ekvationen — men lösningen på ett system måste stämma i BÅDA. Det finns oändligt många punkter på varje linje; du söker den enda punkten som ligger på bägge.
Multiplicerar inte hela ekvationen vid eliminering
Vid eliminering multiplicerar du bara vänstra sidan med ett tal, inte högra. Det förstör ekvationen. Vad du gör på ena sidan måste du göra på den andra — annars är ekvationen inte längre sann.
Förlorar koll på vad variablerna betyder
Efter flera beräkningssteg vet du inte längre om du hittade x eller y. Skriv alltid upp i förväg vad varje variabel representerar, och avsluta med ett fullständigt svar: x = … och y = …
Matte i vardagen
En biokassa: 20 biljetter såldes för 2 300 kr. Vuxen 150 kr, barn 80 kr.
Systemet x + y = 20 och 150x + 80y = 2 300 ger x = 10, y = 10. Utan systemet kan du inte lösa det — du har två okända och behöver exakt två villkor för att låsa svaret.
Ett café blandar kaffebönor: premium (150 kr/kg) och standard (80 kr/kg). De vill ha 10 kg mix för 110 kr/kg.
Systemet x + y = 10 och 150x + 80y = 1 100 ger ungefär 4,3 kg premium och 5,7 kg standard. Priset och vikten är två separata krav som måste stämma på en gång.
Tips
- 💡Rita alltid upp systemet i ett koordinatsystem först — det visar dig vad du letar efter och gör svaret lättare att tolka.
- 💡Sätt in ditt svar i BÅDA ekvationerna och kontrollera. En minut extra sparar dig från ett fel svar.
- 💡Döp variablerna till något konkret ('a = antal vuxenbiljetter, b = antal barnbiljetter') istället för bara x och y — det gör det lättare att inte tappa tråden.
Exempeluppgifter
- Det totala antalet kalorier i 2 korvbitar och 3 skedar gräddost är 960 kalorier. Det totala antalet kalorier i 5 korvbitar och 2 skedar gräddost är 1190 kalorier. Hur många kalorier finns det i en korvbit? Hur många kalorier finns det i en sked gräddost?
- Summan av två gånger ett tal och nio är 31. Bestäm talet. Om du missade detta problem, granska .
- Biljetter till den lokala mässan kostar $12 for adults and $5 kronor för barn. På mässans första dag såldes 312 biljetter för ett totalt belopp på 2204 kronor. Hur många vuxenbiljetter och hur många barnbiljetter såldes?
Testa dina kunskaper
Gör en gratis diagnos och se exakt var du behöver träna mer inom linjärt ekvationssystem.