Begreppet linjärt ekvationssystem

Matte 2b

Två linjer i ett koordinatsystem skär varandra i exakt en punkt — och just den punkten är lösningen på ett linjärt ekvationssystem. Varje ekvation beskriver ett villkor som x och y måste uppfylla, och du letar efter det enda paret (x, y) som gör BÅDA sanna samtidigt. Det är den grafiska bilden bakom allt, och den är värd att ha klar för sig innan du börjar räkna algebraiskt.

Systemet dyker upp så fort du har två okända och två krav på dem. En biobiljett för en vuxen kostar 150 kr, en barnbiljett 80 kr. Totalt såldes 20 biljetter och kassan räknade in 2 300 kr — hur många av varje såldes? Du kan inte lösa det för x och y var för sig, för svaret hänger ihop: antalet vuxenbiljetter påverkar direkt hur stor del av kassan de stod för.

Det finns tre lösningsmetoder: grafisk (rita och se var linjerna möts), substitution (byt ut en variabel mot ett uttryck och lös) och addition/eliminering (kombinera ekvationerna tills en variabel försvinner). Alla tre ger samma svar — men de passar olika bra i olika situationer, och du lär dig att välja.

Ur kursplanen: Begreppet linjärt ekvationssystem. Metoder för att lösa linjära ekvationssystem.

Det här lär du dig

✓Förklara varför en lösning måste uppfylla båda ekvationerna samtidigt, inte bara en
✓Lösa ett 2×2-system med substitutionsmetoden
✓Lösa ett 2×2-system med additionsmetoden (eliminering)
✓Tolka lösningen grafiskt som skärningspunkten mellan två linjer
✓Kontrollera ett svar genom insättning i båda ekvationerna

övningstyper

∞

genererade uppgifter

anpassad svårighet

Vanliga utmaningar

Löser bara en av ekvationerna

Du hittar ett x och y som stämmer i den första ekvationen — men lösningen på ett system måste stämma i BÅDA. Det finns oändligt många punkter på varje linje; du söker den enda punkten som ligger på bägge.

Multiplicerar inte hela ekvationen vid eliminering

Vid eliminering multiplicerar du bara vänstra sidan med ett tal, inte högra. Det förstör ekvationen. Vad du gör på ena sidan måste du göra på den andra — annars är ekvationen inte längre sann.

Förlorar koll på vad variablerna betyder

Efter flera beräkningssteg vet du inte längre om du hittade x eller y. Skriv alltid upp i förväg vad varje variabel representerar, och avsluta med ett fullständigt svar: x = … och y = …

Matte i vardagen

En biokassa: 20 biljetter såldes för 2 300 kr. Vuxen 150 kr, barn 80 kr.

Systemet x + y = 20 och 150x + 80y = 2 300 ger x = 10, y = 10. Utan systemet kan du inte lösa det — du har två okända och behöver exakt två villkor för att låsa svaret.

Ett café blandar kaffebönor: premium (150 kr/kg) och standard (80 kr/kg). De vill ha 10 kg mix för 110 kr/kg.

Systemet x + y = 10 och 150x + 80y = 1 100 ger ungefär 4,3 kg premium och 5,7 kg standard. Priset och vikten är två separata krav som måste stämma på en gång.

Tips

💡Rita alltid upp systemet i ett koordinatsystem först — det visar dig vad du letar efter och gör svaret lättare att tolka.
💡Sätt in ditt svar i BÅDA ekvationerna och kontrollera. En minut extra sparar dig från ett fel svar.
💡Döp variablerna till något konkret ('a = antal vuxenbiljetter, b = antal barnbiljetter') istället för bara x och y — det gör det lättare att inte tappa tråden.

Exempeluppgifter

${x + \frac{1}{3} y = −1 \frac{1}{2} x − \frac{1}{3} y = −2$
Tillverkaren av en viktlyftsbänk betalar $15 to build each bench and sells them for $32 per bänk. Tillverkaren har också fasta kostnader på 25 500 kr per månad. ⓐ Bestäm kostnadsfunktionen C när x bänkar tillverkas. ⓑ Bestäm intäktsfunktionen R när x bänkar säljs. ⓒ Visa break-even-punkten genom att plotta både intäkts- och kostnadsfunktionerna i samma koordinatsystem. ⓓ Bestäm break-even-punkten. Tolka vad break-even-punkten betyder.
$2.2 x + 1.3 y = −0.1 4.2 x + 4.2 y = 2.1$