Begreppet rationella uttryck

Matte 3c

Ett rationellt uttryck är ett bråk där täljare och nämnare är polynom. Tänk på det som ett vanligt bråk - samma grundregler gäller, bara med x och x² där det förut stod 3 och 7. Du kan förkorta om täljare och nämnare delar en gemensam faktor (inte en term), du hittar gemensam nämnare för att addera, och du håller koll på att nämnaren aldrig får vara noll.

Den sista punkten är avgörande. I uttrycket (x² - 4)/(x - 2) kan du faktorisera täljaren till (x + 2)(x - 2) och förkorta till x + 2 - men x = 2 är fortfarande förbjudet, för där var ursprungsuttrycket odefinierat. Det förenklade uttrycket och det ursprungliga är inte identiska; de skiljer sig i en enda punkt. Glömmer du det missar du en central aspekt av definitionen.

Rationella uttryck dyker upp naturligt när en storhet är ett förhållande: hastighet = sträcka/tid, koncentration = löst stoff/total volym, effektivitet = nytta/insats. Nästan allt intressant i teknik, kemi och ekonomi är ett förhållande, och att kunna förenkla och hantera sådana uttryck är grunden för mer avancerade beräkningar.

Ur kursplanen: Begreppet rationella uttryck. Hantering av rationella uttryck.

Det här lär du dig

✓Identifiera definitionsmängden och förbjudna värden för ett rationellt uttryck
✓Förkorta rationella uttryck genom att faktorisera täljare och nämnare
✓Addera och subtrahera rationella uttryck med gemensam nämnare
✓Lösa enkla rationella ekvationer och kontrollera att lösningarna inte är förbjudna värden

övningstyper

∞

genererade uppgifter

anpassad svårighet

Vanliga utmaningar

Förkortar termer istället för faktorer

(x + 3)/(x + 5) kan inte förkortas till 3/5. Man kan bara förkorta faktorer, inte termer. Faktorisera alltid täljare och nämnare helt innan du förkortar: (2x + 4)/(2x + 6) = (2(x+2))/(2(x+3)) = (x+2)/(x+3). Aldrig utan faktorisering.

Fel vid addition - glömmer att justera täljarna

1/x + 1/(x+1) är inte 2/(2x+1). Gemensam nämnare är x(x+1); täljarna måste multipliceras med vad nämnaren utökades med. Skriv varje steg explicit - hoppa aldrig över multiplikationen av täljarna.

Glömmer begränsningarna efter förenkling

När du förenklar (x² - 4)/(x - 2) till x + 2 gäller fortfarande x skilt från 2. Skriv begränsningarna före förenkling och för med dem efter. De försvinner inte bara för att uttrycket ser enklare ut.

Matte i vardagen

Du cyklar upp en backe med 10 km/h och ner med 30 km/h. Genomsnittshastigheten är inte 20 km/h.

Genomsnittshastigheten är totalsträcka delat på totaltid - ett rationellt uttryck som ger 15 km/h. Fel hantering av bråket ger ett fel svar som dessutom verkar rimligt på ytan.

En kemist blandar x liter av en 80-procentslösning med (10 - x) liter av en 30-procentslösning för att få 60 procent.

Blandningsformeln leder till en ekvation med ett rationellt uttryck. Att lösa den korrekt kräver exakt samma tekniker som kursen lär ut.

Tips

💡Faktorisera täljare och nämnare innan du gör något annat - det gör alla efterföljande steg enklare och mer överskådliga.
💡Skriv alltid ned förbjudna värden innan du börjar förenkla och kontrollera att lösningar inte hamnar där.
💡Skriv alla steg vid addition av rationella uttryck - att hoppa mellansteg är den vanligaste orsaken till fel med gemensam nämnare.