Kinetisk gasteori

Fysik – fördjupning

En gas består av ett enormt antal molekyler som flyger omkring i slumpmässiga riktningar med hastigheter på flera hundra meter per sekund, och som ständigt kolliderar med varandra och med väggarna i sin behållare. Kinetisk gasteori förklarar gasens mätbara egenskaper, tryck och temperatur, genom just denna molekylära rörelse i stället för att bara beskriva dem som separata storheter.

Trycket i en gas uppstår direkt av alla de små stötarna när molekylerna träffar behållarens väggar. Varje enskild stöt ger väggen en liten knuff, och med ett ofantligt antal molekyler som vid vanligt lufttryck träffar varje kvadratmillimeter i storleksordningen 10²¹ gånger per sekund blir summan av alla dessa knuffar det jämna tryck vi mäter. Det är alltså kollisionerna mot väggarna, inte kollisionerna mellan molekylerna, som ger trycket mot väggen.

Temperatur är ett mått på molekylernas genomsnittliga rörelseenergi, men alla molekyler rör sig inte lika snabbt. I en gas vid en given temperatur finns en hel spridning av hastigheter, från nästan stillastående till mycket snabba, och det är medelvärdet av denna spridning som ger temperaturen dess fysikaliska innebörd. Sambandet mellan medelrörelseenergin och temperaturen skrivs Ē_k = (3/2)·k_B·T, där k_B är Boltzmanns konstant, omkring 1,38·10⁻²³ J/K.

Vid samma temperatur har alla molekyler samma genomsnittliga rörelseenergi, m·v²/2, och därför rör sig tyngre molekyler långsammare än lättare. Hastigheten som används i beräkningar kallas kvadratmedelhastigheten, v_rms = √(3·k_B·T/m), och ger till exempel omkring 520 meter per sekund för en kvävemolekyl vid 300 K. Kopplingen mellan den mikroskopiska rörelsen och det makroskopiska trycket fångas i sambandet p = (1/3)·ρ·v_rms², som visar att trycket växer både med gasens densitet och med kvadraten på molekylernas fart.

Formler

Ē_k = (3/2)·k_B·T

Medelrörelseenergin per molekyl i en gas. Ē_k är energin i joule (J), k_B är Boltzmanns konstant (J/K), T är den absoluta temperaturen i kelvin (K). Gäller en ideal gas och avser rörelseenergin i molekylernas förflyttning (translation), inte rotation eller vibration.

v_rms = √(3·k_B·T/m)

Kvadratmedelhastigheten för gasmolekylerna. v_rms är farten i meter per sekund (m/s), m är massan hos en enskild molekyl i kilogram (kg), k_B är Boltzmanns konstant och T är den absoluta temperaturen i kelvin (K).

p = (1/3)·ρ·v_rms²

Gastrycket uttryckt i mikroskopiska storheter. p är trycket i pascal (Pa), ρ är gasens densitet i kilogram per kubikmeter (kg/m³), v_rms är kvadratmedelhastigheten i meter per sekund (m/s). Gäller en ideal gas.

Det här lär du dig

Förklara gastryck som resultatet av molekylkollisioner mot behållarens väggar
Koppla temperatur till molekylernas genomsnittliga rörelseenergi
Beräkna medelrörelseenergi och kvadratmedelhastighet för gasmolekyler
Förklara varför tyngre molekyler rör sig långsammare än lättare vid samma temperatur

Begrepp att kunna

Kinetisk gasteori: Teorin som förklarar gasers mätbara egenskaper, tryck och temperatur, genom molekylernas slumpmässiga rörelse och kollisioner på mikroskopisk nivå.
Boltzmanns konstant (k_B): Naturkonstanten som kopplar temperatur till rörelseenergi, k_B ≈ 1,38·10⁻²³ J/K. Finns i sambandet mellan medelrörelseenergi och temperatur.
Medelrörelseenergi: Den genomsnittliga kinetiska energin hos gasens molekyler. Är proportionell mot den absoluta temperaturen, oavsett hur stor spridningen i hastighet är mellan enskilda molekyler.
Kvadratmedelhastighet (v_rms): Det hastighetsmått som motsvarar molekylernas medelrörelseenergi. Räknas ut ur temperaturen och molekylens massa, inte samma som den enkla medelhastigheten.
Ideal gas: En modellgas där molekylerna antas sakna egen volym och bara påverkar varandra genom elastiska kollisioner. Verkliga gaser stämmer väl med modellen vid vanliga tryck och temperaturer.

Vanliga svårigheter

Tror att alla molekyler i en gas rör sig med exakt samma fart

Molekylerna i en gas har en hel spridning av hastigheter: några rör sig mycket långsamt, andra mycket snabbt, och de flesta ligger någonstans mitt emellan. Temperaturen beskriver bara medelvärdet av denna spridning, inte farten hos en enskild molekyl.

Blandar ihop kvadratmedelhastigheten med den enkla medelhastigheten

Kvadratmedelhastigheten v_rms räknas fram genom att först kvadrera farterna, ta medelvärdet och sedan dra roten ur, vilket ger ett annat tal än om man bara tar medelvärdet av farterna direkt. Det är v_rms, inte den enkla medelhastigheten, som hör ihop med medelrörelseenergin i formeln Ē_k = (3/2)·k_B·T.

Tror att gastrycket beror på att molekylerna knuffar på varandra

Det är kollisionerna mot behållarens väggar, inte mellan molekylerna själva, som skapar det tryck vi mäter utanpå en behållare. Molekylerna kolliderar visserligen ofta med varandra inuti gasen, men det är stöten mot väggen som ger upphov till den kraft per ytenhet som vi kallar tryck.

I verkligheten

En heliumballong töms snabbare på gas än en ballong med vanlig luft, även om båda verkar lika täta

Heliumatomer är mycket lättare än luftens kväve- och syremolekyler, och vid samma temperatur delar alla gaser samma medelrörelseenergi. Det gör att de lätta heliumatomerna måste röra sig mycket snabbare, vilket gör att de lättare slinker ut genom de minsta porerna i ballongmaterialet.

Bilverkstäder rekommenderar att du kontrollerar lufttrycket i däcken när de är kalla, inte direkt efter en lång körning

När däcken blir varma av att gummit hela tiden pressas ihop och böjs under körningen rör sig luftmolekylerna inuti snabbare och träffar innerväggarna hårdare och oftare, vilket höjer trycket utan att någon luft har tillförts. Ett tryck mätt på varma däck ger därför ett missvisande högt värde.

Tips

Skriv upp vilken storhet frågan egentligen söker, energi (Ē_k), fart (v_rms) eller tryck (p), innan du väljer formel. De tre formlerna ovan hänger ihop men svarar på olika frågor.
Jämför kvadratmedelhastigheten för några olika gaser vid samma temperatur, till exempel väte, kväve och koldioxid. Du ser snabbt att lättare molekyler får betydligt högre fart trots att alla delar samma medelrörelseenergi.
Håll alltid temperaturen i kelvin innan du sätter in den i Ē_k = (3/2)·k_B·T eller v_rms = √(3·k_B·T/m). Räknar du med grader Celsius blir svaret alltid fel, eftersom sambandet bygger på avstånd till den absoluta nollpunkten.

Testa dig själv

1. Varför har inte alla molekyler i en gas samma hastighet, trots att de befinner sig vid samma temperatur?

Molekylerna krockar ständigt med varandra och byter rörelseenergi vid varje krock, så vissa molekyler får tillfälligt mer fart och andra mindre. Resultatet är en bred spridning av hastigheter kring ett medelvärde. Temperaturen beskriver just detta medelvärde av rörelseenergin, inte farten hos någon enskild molekyl.

2. Beräkna den genomsnittliga rörelseenergin hos en gasmolekyl vid 300 K.

Med Ē_k = (3/2)·k_B·T fås Ē_k = (3/2) · 1,38·10⁻²³ J/K · 300 K ≈ 6,21·10⁻²¹ J. Det är en försvinnande liten energi för en enda molekyl, men i en vanlig gasvolym finns det så ofantligt många molekyler att deras sammanlagda rörelseenergi blir fullt märkbar som temperatur och tryck.

3. En kvävemolekyl (N₂) har massan ungefär 4,65·10⁻²⁶ kg. Beräkna dess kvadratmedelhastighet vid 300 K.

Med v_rms = √(3·k_B·T/m) fås v_rms = √(3 · 1,38·10⁻²³ · 300 / 4,65·10⁻²⁶) ≈ √(2,67·10⁵ m²/s²) ≈ 517 m/s. Kvävemolekylerna i luften omkring dig har alltså en typisk fart på omkring 1 900 kilometer i timmen, trots att luften känns stillastående.

Ur kursplanen

Fysik – fördjupning · Materia och material
Mikroskopiska modeller för beskrivning av materia, till exempel materians våg–partikeldualism, partikel-i-låda, Heisenbergs obestämdhetsrelation, atomorbitaler, Pauliprincipen och partikelmodell för ideala gaser.

Källa: Skolverket, centralt innehåll.

Bygger på

Fler ämnen: Fysik – fördjupning