Tre tröjor och två byxor — hur många outfits kan du göra? Du kan rita ut alla kombinationer och räkna, men det finns ett snyggare sätt: 3 × 2 = 6. Det är kombinatorikens grundidé: istället för att lista allt multiplicerar du antalet val i varje steg.
Det fungerar för att valen är oberoende av varandra. Vilken tröja du väljer påverkar inte hur många byxor du kan välja — varje tröja kan kombineras med varje par byxor. Lägg till ett val till, till exempel två par skor, och du multiplicerar igen: 3 × 2 × 2 = 12. Multipliceringen gäller så länge varje val är oberoende.
Tricket är systematiken. Utan ett system är det lätt att räkna samma kombination två gånger eller missa hälften. En bra metod är ett träddiagram: du ritar ut alla val för det första steget, sedan förgrenar du för varje alternativ i steg två, och räknar antalet blad längst ut. Det ser ut som mer arbete än att multiplicera direkt, men trädet hjälper dig kontrollera att du inte missat en enda gren — och det är guld värt när uppgifterna blir svårare.
Ur kursplanen: Enkel kombinatorik i konkreta situationer.
Det här lär du dig
- ✓Räkna antalet kombinationer genom att multiplicera antalet val i varje steg
- ✓Rita ett träddiagram för att systematiskt lista alla kombinationer
- ✓Avgöra om ordningen spelar roll eller inte i en uppgift
- ✓Kontrollera att alla kombinationer är unika och inga räknats dubbelt
Vanliga utmaningar
Räknar utan system och missar kombinationer
Att försöka lista kombinationer utan struktur leder till att du hoppar över möjligheter utan att märka det. Rita ett träddiagram där varje gren representerar ett val och räkna sedan antalet blad — det går inte att missa en kombination om trädet är fullständigt.
Räknar samma kombination flera gånger
Är röd+blå samma outfit som blå+röd? Beroende på uppgiften kan svaret vara ja eller nej. Bestäm det innan du börjar lista. Gör sedan ett fullständigt träd eller tabell och stryk ut dubbletter om ordningen inte spelar roll.
Träddiagrammet blir rörigt och svårt att räkna
Idén med trädet är rätt, men om pilarna pekar åt olika håll och nivåerna inte ligger på rad kan du inte räkna grenar korrekt. Rita alla val från steg 1 rakt ner och alla val från steg 2 på exakt samma avstånd från varandra.
Matte i vardagen
Klädkombinationer inför skolan
Med 3 tröjor, 2 byxor och 2 par skor kan du göra 3 × 2 × 2 = 12 helt olika outfits. Du behöver inte lägga ut alla kläder och räkna — multiplicera antalet val i varje steg.
Skapa ett lösenord med bestämda regler
Om ett lösenord ska börja med en bokstav (26 val), sedan en siffra (10 val) och sedan ett tecken (5 val), finns det 26 × 10 × 5 = 1 300 möjliga kombinationer. Omöjligt att lista för hand — enkelt att multiplicera.
Tips
- 💡Rita alltid ett träddiagram för kombinationsuppgifter tills du känner dig säker. Det tar lite tid men gör det omöjligt att missa kombinationer.
- 💡Bestäm först om ordningen spelar roll. Röd+blå och blå+röd — är de samma eller olika? Svaret ändrar hur du räknar.
- 💡Multiplicera antalet val som en snabbkontroll: om du listat 10 kombinationer men 4 × 3 = 12, har du missat två stycken — gå tillbaka till trädet.
Exempeluppgifter
- En lokal forskargrupp studerar en kronisk sjukdom. De tror att antalet fall av sjukdomen är högre 2013 än 2012 i södra USA. Gruppen jämförde uppskattningarna av nya fall per sydstat 2012 och 2013. Resultaten visas i tabellen nedan. Sydstaterna 2012 2013 Alabama 3 450 3 720 Arkansas 2 150 2 280 Florida 15 540 15 710 Georgia 6 970 7 310 Kentucky 3 160 3 300 Louisiana 3 320 3 630 Mississippi 1 990 2 080 North Carolina 7 090 7 430 Oklahoma 2 630 2 690 South Carolina 3 570 3 580 Tennessee 4 680 5 070 Texas 15 050 14 980 Virginia 6 190 6 280
- Bestäm P(C).
- Vilken typ av test bör användas?
Testa dina kunskaper
Gör en gratis diagnos och se exakt var du behöver träna mer inom enkel kombinatorik i konkreta situationer.