Matteövningar/åk 4–6/Statistik och sannolikhet

Enkel kombinatorik i konkreta situationer

Name: Enkel kombinatorik i konkreta situationer — åk 4–6
Author: Mikael Fallström

åk 4–6

Kursplaneförankrat (Lgr22/Gy25) och granskat av Mikael Fallström, grundare och ansvarig redaktör.

Tre tröjor och två byxor — hur många outfits kan du göra? Du kan rita ut alla kombinationer och räkna, men det finns ett snyggare sätt: 3 × 2 = 6. Det är kombinatorikens grundidé: istället för att lista allt multiplicerar du antalet val i varje steg.

Det fungerar för att valen är oberoende av varandra. Vilken tröja du väljer påverkar inte hur många byxor du kan välja — varje tröja kan kombineras med varje par byxor. Lägg till ett val till, till exempel två par skor, och du multiplicerar igen: 3 × 2 × 2 = 12. Multipliceringen gäller så länge varje val är oberoende.

Tricket är systematiken. Utan ett system är det lätt att räkna samma kombination två gånger eller missa hälften. En bra metod är ett träddiagram: du ritar ut alla val för det första steget, sedan förgrenar du för varje alternativ i steg två, och räknar antalet blad längst ut. Det ser ut som mer arbete än att multiplicera direkt, men trädet hjälper dig kontrollera att du inte missat en enda gren — och det är guld värt när uppgifterna blir svårare.

Ur kursplanen: Enkel kombinatorik i konkreta situationer.

Det här lär du dig

✓Räkna antalet kombinationer genom att multiplicera antalet val i varje steg
✓Rita ett träddiagram för att systematiskt lista alla kombinationer
✓Avgöra om ordningen spelar roll eller inte i en uppgift
✓Kontrollera att alla kombinationer är unika och inga räknats dubbelt

övningstyper

∞

genererade uppgifter

anpassad svårighet

Vanliga utmaningar

Räknar utan system och missar kombinationer

Att försöka lista kombinationer utan struktur leder till att du hoppar över möjligheter utan att märka det. Rita ett träddiagram där varje gren representerar ett val och räkna sedan antalet blad — det går inte att missa en kombination om trädet är fullständigt.

Räknar samma kombination flera gånger

Är röd+blå samma outfit som blå+röd? Beroende på uppgiften kan svaret vara ja eller nej. Bestäm det innan du börjar lista. Gör sedan ett fullständigt träd eller tabell och stryk ut dubbletter om ordningen inte spelar roll.

Träddiagrammet blir rörigt och svårt att räkna

Idén med trädet är rätt, men om pilarna pekar åt olika håll och nivåerna inte ligger på rad kan du inte räkna grenar korrekt. Rita alla val från steg 1 rakt ner och alla val från steg 2 på exakt samma avstånd från varandra.

Matte i vardagen

Klädkombinationer inför skolan

Med 3 tröjor, 2 byxor och 2 par skor kan du göra 3 × 2 × 2 = 12 helt olika outfits. Du behöver inte lägga ut alla kläder och räkna — multiplicera antalet val i varje steg.

Skapa ett lösenord med bestämda regler

Om ett lösenord ska börja med en bokstav (26 val), sedan en siffra (10 val) och sedan ett tecken (5 val), finns det 26 × 10 × 5 = 1 300 möjliga kombinationer. Omöjligt att lista för hand — enkelt att multiplicera.

Tips

💡Rita alltid ett träddiagram för kombinationsuppgifter tills du känner dig säker. Det tar lite tid men gör det omöjligt att missa kombinationer.
💡Bestäm först om ordningen spelar roll. Röd+blå och blå+röd — är de samma eller olika? Svaret ändrar hur du räknar.
💡Multiplicera antalet val som en snabbkontroll: om du listat 10 kombinationer men 4 × 3 = 12, har du missat två stycken — gå tillbaka till trädet.

Exempeluppgifter

Bestäm utfallsrummen för dessa försök med hjälp av tabeller. Du kastar två tärningar: en 4-sidig och en 6-sidig. Du är på en glassbutik och ska köpa en kula glass med ett tillbehör. Glasssmakerna du överväger är vanilj, choklad och rocky road; tillbehören är fudge, vispgrädde och strössel. Ärterna du avelsar har två möjliga färgalternativ för fruktställena: grön och gul. Dessa färger bestäms av en viss gen, som finns i två varianter: ”G” för grön och ”g” för gul (inom genetik betecknar stora bokstäver vanligtvis dominanta gener, medan små bokstäver betecknar recessiva gener). Varje växt har två gener. Om du korsar en Gg-ärtväxt med en gg-växt, kommer avkomleväxten att få en gen från varje förälder. Vilka är de möjliga utfallen?
Du ska välja en maträtt och en drink. Det finns 4 maträtter och 3 drycker. Rita ett träddiagram och räkna hur många kombinationer du kan få.
Universitetets kombinatorikklubb har 31 medlemmar: 8 fjärdeårsstudenter, 7 tredjeårsstudenter, 5 andraårsstudenter och 11 förstaårsstudenter. Hur många möjliga 4-personers utskott kan bildas genom att välja 1 medlem från varje årskurs?