Enkla matematiska modeller
åk 7–9
Kursplaneförankrat (Lgr22/Gy25) och granskat av Mikael Fallström, grundare och ansvarig redaktör.
En matematisk modell är ett sätt att beskriva något verkligt med hjälp av matematik — oftast enklare än det låter. Om du spenderar 50 kronor per dag kan du skriva pengar = 50 × dagar, och plötsligt kan du förutsäga hur länge pengarna räcker utan att räkna dag för dag. Det är en modell: ett enkelt samband som fångar det väsentliga och låter dig beräkna saker du annars inte vet.
Poängen med en modell är att den förenklar. En fitness-app som säger "du brände ungefär 300 kalorier" använder en förenklad formel — den tar inte hänsyn till exakt kroppsammansättning, terräng eller hur utvilad du var. Men den ger en rimlig uppskattning som är tillräckligt bra för de flesta ändamål. Att välja vilka delar av verkligheten som är viktiga och vilka man kan bortse från är kärnan i modellering.
Det finns tre saker att se upp med: att göra modellen onödigt komplicerad, att glömma kontrollera om resultatet är rimligt (ett svar på 150 år eller −30 äpplen bör väcka misstankar), och att inte vara medveten om vilka antaganden modellen bygger på. En modell gäller bara under de förutsättningar som man faktiskt har antagit.
Ur kursplanen: Enkla matematiska modeller och hur de kan användas i olika situationer.
Det här lär du dig
- ✓Skriva enkla matematiska modeller för verkliga situationer
- ✓Identifiera vilka variabler som ingår i en modell
- ✓Testa om en modells resultat är rimliga
- ✓Formulera och förklara de antaganden en modell bygger på
- ✓Avgöra när en enkel proportionalitetsmodell räcker
Vanliga utmaningar
Gör modellen onödigt komplicerad
Mer matematik betyder inte mer rätt. Om lösgodis kostar 15 kr/hg är modellen pris = 15 × vikt — ingenting mer. Lägger man till fler variabler än nödvändigt blir det svårare att använda och tolka, utan att resultatet blir bättre.
Kontrollerar inte om svaret är rimligt
Om modellen ger svaret att något tar 150 år eller kostar −30 kr är något fel. Stanna alltid upp och fråga: kan det här stämma i verkligheten? Kan värdet vara negativt? Är storleksordningen rätt?
Glömmer att modeller bygger på antaganden
En modell som antar konstant tillväxt per år slutar stämma om förutsättningarna förändras. Skriv ned dina antaganden explicit innan du använder modellen — då ser du direkt när den kan börja halka.
Matte i vardagen
En playlist-app uppskattar hur många låtar som får plats på ett 2-timmars träningspass
Appen använder modellen antal låtar ≈ total tid ÷ 3,5 min. Det är inte exakt (låtar varierar mellan 2 och 5 minuter), men det ger en rimlig uppskattning utan att mäta varje enskild låt — tillräckligt bra för syftet.
Du vill förutsäga hur länge dina pengar räcker
Om du spenderar 50 kr per dag är modellen dagar = kvarvarande pengar ÷ 50. Enkel, direkt och tillräcklig. Det finns ingen anledning att göra den mer avancerad om situationen inte kräver det.
Tips
- 💡Börja alltid med det enklaste möjliga sambandet och lägg till komplexitet bara om resultatet är för grovt för det du ska använda det till.
- 💡Testa modellen mot något du redan vet svaret på — stämmer modellen i det fallet? Om inte, behöver du justera dina antaganden innan du använder den på okänd data.
- 💡Skriv ner dina antaganden explicit ("jag antar att priset är konstant", "jag antar att farten är jämn") — det gör det lätt att se var modellen kan börja stämma dåligt.
Exempeluppgifter
- Eduardo märkte att pappren för hans nya bilån angav att med ett räntesats på $7.5%,$ skulle han betala $$6,596.25$ i ränta under $5$ år. Hur mycket lånade han för att betala för sin bil?
- Efraim är en understödsberättigande studerande vid ett universitet som läser biologi. Han är på väg in i sitt femte studieår. Under år 1 tog han ut $5,000 in federal subsidized and unsubsidized loans, in year 2 he took out $6 400 kronor i federala subventionerade och icke-subventionerade lån, och under år 3 och 4 tog han ut de maximala beloppen för federala subventionerade och icke-subventionerade lån. Han behöver federala subventionerade och icke-subventionerade lån för sitt femte studieår. Hur mycket kan han få i federala subventionerade och icke-subventionerade studielån?
- Skriv om $a^{−\frac{2}{5}}=b$ som en ekvivalent logaritmisk ekvation.
Testa dina kunskaper
Gör en gratis diagnos och se exakt var du behöver träna mer inom enkla matematiska modeller.