Hur många 4-siffriga PIN-koder finns det egentligen? Det verkar som att det borde vara runt 40, men svaret är 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000. Kombinatorik är konsten att räkna möjligheter på ett systematiskt sätt, och multiplikationsprincipen är grunden: om du gör flera val i följd multiplicerar du antalet alternativ vid varje steg.
Det finns en viktig distinktion att hålla koll på: spelar ordningen roll eller inte? "Välj ordförande, sekreterare och kassör ur fem kandidater" — ordningen spelar roll, för rollerna är olika (A som ordförande och B som sekreterare är inte samma som B som ordförande och A som sekreterare). "Välj tre elever till ett projekt" — ordningen spelar ingen roll, för det bara handlar om vilka tre. Permutationer och kombinationer är de två verktygen du behöver.
Kombinatorik dyker upp överallt: i lösenordssäkerhet, i schemaläggning, i brädspel och i sannolikhetslära. Att förstå det gör att du kan räkna snabbt och rätt i stället för att försöka lista alla möjligheter för hand.
Ur kursplanen: Kombinatoriska principer och hur de kan användas i olika situationer.
Det här lär du dig
- ✓Tillämpa multiplikationsprincipen på stegvisa val
- ✓Skilja på situationer där ordningen spelar roll och inte
- ✓Räkna permutationer utan återläggning systematiskt
- ✓Räkna kombinationer och förklara skillnaden mot permutationer
- ✓Avgöra om ett val är med eller utan återläggning
Vanliga utmaningar
Adderar alternativ när man ska multiplicera
"3 glassmakser och 4 toppings" ger 3 × 4 = 12 kombinationer, inte 3 + 4 = 7. Addera när du väljer ett av alternativen. Multiplicera när du gör båda valen efter varandra. Rita ett träddiagram för att se det visuellt.
Blandar permutationer och kombinationer
Väljer du ordförande och sekreterare är (A,B) inte samma som (B,A) — rollerna är olika. Men väljer du bara två elever till ett projekt spelar ordningen ingen roll. Fråga dig alltid: är positionerna eller rollerna identiska eller olika?
Glömmer att antalet alternativ minskar utan återläggning
Väljer du tre elever från 25 att presentera, och samma person inte kan väljas två gånger: 25 × 24 × 23 — inte 25 × 25 × 25. Efter varje val försvinner ett alternativ ur högen, och det påverkar hela beräkningen.
Matte i vardagen
Du har 3 tröjor, 2 byxor och 2 par skor
Antalet outfits är 3 × 2 × 2 = 12. Du kan bära en ny kombination varje dag i nästan två veckor utan att repetera. Multiplikationsprincipen förklarar varför variationen är mycket större än de flesta tror.
En 4-siffrig PIN-kod med siffrorna 0–9
Det finns 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000 möjliga koder. Det låter som mycket, men en dator testar tusentals per sekund — vilket förklarar varför 4 siffror är svagt och 6 siffror är dramatiskt säkrare.
Tips
- 💡Rita alltid ett träddiagram när du är osäker — det gör varje steg och varje gren synlig, och du ser direkt om du multiplicerar rätt och om du har räknat med rätt antal alternativ.
- 💡Skriv explicit svaret på frågan "spelar ordningen roll?" innan du väljer formel — det ena misstaget sitter i att hoppa direkt till att räkna utan att ha besvarat den frågan.
- 💡Öva med fysiska objekt: lägg upp tre kort och ordna dem i alla möjliga ordningar, räkna. Välj sedan bara två och se skillnaden mellan att ordna dem och att bara välja vilka två.
Exempeluppgifter
- Vad är p-värdet?
- Följande data är skostorlekarna för 50 manliga studenter. Storlekarna är kontinuerliga data eftersom skostorlek mäts. Konstruera ett histogram och beräkna bredden på varje stapel eller klassintervall. Använd sex staplar i histogrammet. 9, 9, 9,5, 9,5, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10,5, 10,5, 10,5, 10,5, 10,5, 10,5, 10,5, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11,5, 11,5, 11,5, 11,5, 11,5, 11,5, 11,5, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12,5, 12,5, 12,5, 12,5, 14
- Beräkna $P(18,4).$
Testa dina kunskaper
Gör en gratis diagnos och se exakt var du behöver träna mer inom kombinatoriska principer.