Exponentiella grafer

En kopp hett kaffe svalnar snabbt de första minuterna men bara lite grann när den redan närmat sig rumstemperaturen. En radioaktiv källa sänder ut mycket strålning i början och allt mindre efter det. Båda kurvorna har samma karaktäristiska form: en exponentiell förändring, där hur mycket som förändras hela tiden beror på hur mycket som redan finns kvar, inte på ett fast antal per sekund.

Exponentiellt avtagande kurvor, som radioaktivt sönderfall eller avsvalning mot omgivningens temperatur, är branta i början och planar sedan ut mer och mer, utan att någonsin riktigt nå sitt gränsvärde. Uppladdningen av en kondensator ger en spegelvänd kurva som stiger brant och sedan planar ut mot ett tak, medan obegränsad exponentiell tillväxt blir allt brantare. Det avgörande kännetecknet, som skiljer dem från till exempel en parabel, är att förändringen per tidsenhet är proportionell mot det aktuella värdet, eller mot avståndet kvar till gränsvärdet, inte mot tiden som gått.

Du kan läsa av halveringstiden direkt ur en sönderfallskurva utan att räkna: hitta var kurvan har sjunkit till hälften av sitt startvärde och avläs motsvarande tid på x-axeln. Det smarta är att detta fungerar varifrån du vill starta på kurvan, inte bara från början – tiden det tar att gå från 80 procent till 40 procent är exakt densamma som tiden det tar att gå från 20 procent till 10 procent. Den egenskapen, att kurvan ser likadan ut oavsett var du zoomar in, är ett bra sätt att själv kontrollera om en kurva verkligen är exponentiell.

På en vanlig linjär axel är en exponentiell kurva böjd, men byter du till en logaritmisk y-axel, där avstånden motsvarar tiopotenser i stället för jämna steg, blir samma kurva en rät linje. Det är ett kraftfullt sätt att snabbt avgöra om uppmätta punkter verkligen följer en exponentiell process: ligger de ungefär på en rät linje på halvlogaritmiskt papper, är svaret ja. Vid avsvalning och uppladdning är det avståndet kvar till slutvärdet, till exempel temperaturskillnaden mot rummet, som halveras på lika långa tider och ger en rät linje, inte själva värdet.

Det här lär du dig

Känna igen formen på en exponentiellt avtagande och en exponentiellt växande kurva
Läsa av halveringstid eller tid till en viss nivå direkt ur en graf
Förklara varför en exponentiell kurva ser likadan ut oavsett varifrån på kurvan man mäter
Tolka en logaritmisk skala och förklara varför den gör exponentiella kurvor räta

Begrepp att kunna

Exponentiellt avtagande: En kurva som minskar snabbt i början och allt långsammare därefter, utan att nå sitt gränsvärde inom den tid grafen visar, till exempel radioaktivt sönderfall.
Exponentiellt växande mot ett tak: En kurva som ökar snabbt i början och sedan planar ut mot ett sluttillstånd, till exempel spänningen när en kondensator laddas upp.
Konstant halveringstid: Egenskapen hos en exponentiellt avtagande kurva att tiden för att minska till en bestämd andel, till exempel hälften, är densamma oavsett vilket värde man utgår från på kurvan.
Logaritmisk skala: En axel där avstånden motsvarar multiplikation med en fast faktor, till exempel tio, i stället för addition av ett fast steg. En exponentiell kurva blir en rät linje på en sådan skala.

Vanliga svårigheter

Förväntar sig att kurvan blir rak igen efter den branta starten

Den inledande, snabba delen av en exponentiellt avtagande kurva lurar många att tro att resten av kurvan fortsätter minska lika snabbt eller plötsligt blir en rät linje nedåt mot noll. I verkligheten fortsätter kurvan att avta med samma andel per tidsenhet hela vägen, vilket gör den allt flackare utan att den någonsin blir helt platt eller når noll inom grafens tidsram.

Mäter tiden till halvering bara från kurvans början

Många elever letar bara efter halveringstiden mellan startvärdet och hälften av det, och missar att samma tidsintervall gäller varifrån på kurvan man än startar. Att inte känna igen att halveringstiden är konstant gör det svårt att snabbt kontrollera om två olika avlästa punkter på samma kurva är rimliga i förhållande till varandra.

Läser en logaritmisk axel som om avstånden var lika stora steg

På en logaritmisk skala ligger 1, 10 och 100 på jämnt avstånd från varandra, trots att skillnaden mellan dem i vanliga tal är helt olika stor. Den som läser av en sådan axel som om den var linjär, och tror att mitten mellan 10 och 100 är 55, hamnar långt fel – mitten på en logaritmisk skala mellan 10 och 100 är i stället ungefär 32.

I verkligheten

En tekniker läser av en graf som visar spänningen över en kondensator som laddas upp via ett motstånd, från 0 volt mot batteriets 12 volt.

Kurvan stiger snabbt i början och planar ut nära 12 volt utan att riktigt nå det. Genom att läsa av var kurvan passerat halva vägen till sluttillståndet kan teknikern uppskatta hur lång tid uppladdningen tar, utan att behöva räkna med någon formel.

En fysiklärare visar en graf över hur snabbt en kopp varmt kaffe svalnar mot rumstemperaturen i klassrummet.

Kurvan är brant i början men blir flackare när temperaturen närmar sig rummets, eftersom avsvalningen går snabbare ju större skillnaden är mot omgivningen. Formen är densamma som för radioaktivt sönderfall, trots att det fysikaliska skeendet är helt annorlunda.

Tips

Testa om halveringstiden är konstant på en kurva du misstänker är exponentiell: mät tiden för en halvering på två olika ställen och kontrollera att de är ungefär lika långa. Går kurvan mot ett annat värde än noll halverar du avståndet till det värdet.
Rita en exponentiell kurva och en parabel bredvid varandra på samma papper och jämför formerna, så att du snabbt kan skilja en kurva som planar ut mot ett gränsvärde från en som bara fortsätter öka.
Om du har tillgång till halvlogaritmiskt papper eller ett digitalt verktyg, plotta om misstänkt exponentiella mätdata där och se om punkterna hamnar på en rät linje – det är det säkraste sättet att bekräfta formen.

Testa dig själv

1. En graf över radioaktivt sönderfall visar att aktiviteten sjunker från 800 enheter till 400 enheter under de första 5 minuterna. Utan att räkna med någon formel, vad kan du säga om tiden det tar att sjunka från 400 till 200 enheter?

Eftersom en exponentiellt avtagande kurva ser likadan ut oavsett var på kurvan man startar, tar det lika lång tid, 5 minuter, att gå från 400 till 200 enheter som det tog att gå från 800 till 400. Detta är halveringstiden, och den är densamma var man än befinner sig på kurvan.

2. Varför blir en exponentiellt avtagande kurva en rät linje när du byter den linjära y-axeln till en logaritmisk?

På en logaritmisk axel motsvarar varje lika stort steg en multiplikation med samma faktor i stället för en addition av samma belopp. Eftersom en exponentiell process minskar med samma andel för varje tidsintervall, blir just den minskningen ett konstant, jämnt steg nedåt på den logaritmiska axeln, vilket ger en rät linje.

3. Du jämför två kurvor: en som sjunker brant och sedan planar ut, och en som sjunker jämnt i en rak linje ner mot noll och sedan stannar där. Vilken är troligen exponentiell?

Den som sjunker brant och sedan planar ut utan att nå noll är troligen exponentiell, eftersom en sann exponentiell process alltid närmar sig sitt gränsvärde men aldrig riktigt når det inom en begränsad tid. En rak linje som faktiskt når noll och stannar där är i stället ett tecken på en linjär process.

Ur kursplanen

Fysik nivå 1a2 · Fysikens arbetsmetoder
Beräkningar, regressionsanalys och analys av grafer. Storleksuppskattningar, enhetsanalys och mätnoggrannhet.
Fysik nivå 1b · Fysikens arbetsmetoder
Beräkningar, regressionsanalys och analys av grafer. Storleksuppskattningar, enhetsanalys och mätnoggrannhet.

Källa: Skolverket, centralt innehåll.

Bygger på

Läsa av grafer i fysik

Träna vidare – gratis

Det här ämnet har inga egna träningsuppgifter än. De här närliggande ämnena har lösta exempel och uppgifter som anpassar sig efter dig: