Rotationsrörelse och rörelsemängdsmoment
Rörelsemängdsmoment, betecknat L, är rotationens motsvarighet till rörelsemängd. Precis som rörelsemängden p = m·v beskriver hur svårt det är att stoppa en rörelse i rak linje, beskriver rörelsemängdsmomentet L = I·ω hur svårt det är att stoppa en rotation. Här är I tröghetsmomentet, rotationens motsvarighet till massa, och ω är vinkelhastigheten i radianer per sekund, rotationens motsvarighet till hastighet.
Tröghetsmomentet beror inte bara på hur mycket massa som roterar, utan på hur långt bort från rotationsaxeln massan sitter. För en punktmassa på avståndet r från axeln är I = m·r², vilket betyder att en massa på dubbla avståndet ger fyra gånger större tröghetsmoment, inte bara dubbelt. Det är därför det är mycket lättare att få en stav att snurra kring sin mittpunkt än kring en ände: massan ligger i genomsnitt närmare axeln i det första fallet.
Rörelsemängdsmomentet bevaras när inget yttre vridmoment verkar på systemet: I₁·ω₁ = I₂·ω₂. En konståkare som snurrar med utsträckta armar kan till exempel ha ett tröghetsmoment på 4 kg·m² vid vinkelhastigheten 2 rad/s, ett rörelsemängdsmoment på L = 4 · 2 = 8 kg·m²/s. Drar hon in armarna så att tröghetsmomentet sjunker till 1 kg·m², måste vinkelhastigheten stiga till ω₂ = 8/1 = 8 rad/s för att L ska förbli samma. Hon snurrar fyra gånger snabbare utan att någon yttre kraft trycker eller drar i henne.
Samma princip styr en gymnast som drar ihop kroppen under en saltomortal för att snurra snabbare i luften, och sträcker ut den igen strax före landning för att sakta ner rotationen innan fötterna når marken. I rymden gäller samma lag när kärnan i en tung stjärna kollapsar av sin egen gravitation i slutet av stjärnans liv: när radien minskar kraftigt måste vinkelhastigheten öka kraftigt för att rörelsemängdsmomentet ska bevaras. Det förklarar varför pulsarer, sådana kollapsade stjärnrester, kan snurra många varv per sekund.
Formler
L = I · ω
Rörelsemängdsmoment L i kg·m²/s, tröghetsmoment I i kg·m², vinkelhastighet ω i rad/s.
I = m · r²
Tröghetsmoment för en massa m i kg som befinner sig på avståndet r i meter från rotationsaxeln. Flera massor summeras var för sig.
I₁ · ω₁ = I₂ · ω₂
Bevarandet av rörelsemängdsmoment mellan två tillstånd 1 och 2, giltigt så länge inget yttre vridmoment verkar på systemet.
Det här lär du dig
- Beräkna rörelsemängdsmoment med L = I·ω
- Förklara vad tröghetsmoment är och hur det beror på massans avstånd från rotationsaxeln
- Använda bevarandet av rörelsemängdsmoment för att räkna ut en ny vinkelhastighet när tröghetsmomentet ändras
- Förklara varför en konståkare snurrar snabbare när hon drar in armarna, utan någon yttre kraft
Begrepp att kunna
- Rörelsemängdsmoment
- Betecknas L och definieras som L = I·ω. Rotationens motsvarighet till rörelsemängd, med enheten kg·m²/s.
- Tröghetsmoment
- Betecknas I, mäts i kg·m². Beror på massan och hur den är fördelad i förhållande till rotationsaxeln, inte bara på massans storlek.
- Vinkelhastighet
- Betecknas ω, mäts i radianer per sekund. Anger hur snabbt något roterar kring en axel, rotationens motsvarighet till hastighet.
- Bevarandet av rörelsemängdsmoment
- Utan ett yttre vridmoment förblir L konstant: I₁·ω₁ = I₂·ω₂. Ett system kan då ändra sin vinkelhastighet enbart genom att ändra sitt tröghetsmoment.
Vanliga svårigheter
Blandar ihop tröghetsmoment med massa
Tröghetsmomentet är inte bara ett mått på massan, utan på massan gånger kvadraten på avståndet till rotationsaxeln. Samma massa ger ett mycket större tröghetsmoment längre ut från axeln, vilket gör föremålet svårare att sätta i rotation eller stoppa.
Tror att en yttre kraft gör konståkaren snabbare
Ingen yttre kraft eller vridmoment behövs för att en konståkare ska snurra snabbare när hon drar in armarna. Rörelsemängdsmomentet är redan satt och bevaras; genom att minska sitt eget tröghetsmoment tvingas vinkelhastigheten upp av bevarandelagen, helt utan hjälp utifrån.
Blandar vinkelhastighet med vanlig hastighet
Vinkelhastigheten ω mäts i radianer per sekund och beskriver hur fort vinkeln ändras, medan en vanlig hastighet v mäts i meter per sekund. De hör ihop genom v = ω·r, men ett tal i rad/s kan aldrig sättas rakt in i en formel som väntar sig m/s.
I verkligheten
En konståkare snurrar med utsträckta armar så att tröghetsmomentet är 3 kg·m² vid vinkelhastigheten 3 rad/s, och drar sedan in armarna så att tröghetsmomentet blir 0,75 kg·m².
Rörelsemängdsmomentet L = 3 · 3 = 9 kg·m²/s är samma hela tiden. Med det nya tröghetsmomentet blir den nya vinkelhastigheten ω₂ = 9/0,75 = 12 rad/s, fyra gånger snabbare än innan, helt utan någon yttre kraft.
En gymnast som gör en saltomortal drar ihop kroppen till ett litet, kompakt läge mitt i luften och sträcker ut den igen strax innan landning.
Det mindre tröghetsmomentet under den ihopdragna fasen gör att kroppen roterar snabbare, så att saltot hinner fullbordas i luften. Att sträcka ut kroppen igen före landning ökar tröghetsmomentet och saktar ner rotationen, så att landningen blir kontrollerad.
Tips
- Memorera analogin mellan linjär och roterande rörelse: massa motsvarar tröghetsmoment, hastighet motsvarar vinkelhastighet, rörelsemängd motsvarar rörelsemängdsmoment. Varje regel för det ena paret har en motsvarighet i det andra.
- Fråga alltid kring vilken axel rotationen sker innan du räknar ut ett tröghetsmoment. Samma föremål kan ha helt olika tröghetsmoment beroende på om det roterar kring sin mittpunkt eller kring en ände.
- Innan du räknar, gissa om vinkelhastigheten ska öka eller minska: krymper tröghetsmomentet måste vinkelhastigheten växa för att L ska bevaras, och tvärtom. Stämmer inte uträkningen med den gissningen har något blivit fel.
Testa dig själv
1. En person på en snurrstol, med en tung hantel i varje hand, har tröghetsmomentet 6 kg·m² och roterar med vinkelhastigheten 1,5 rad/s. Hon drar in armarna så att tröghetsmomentet blir 1,5 kg·m². Vilken blir den nya vinkelhastigheten?
L bevaras: L = 6 · 1,5 = 9 kg·m²/s. Den nya vinkelhastigheten är ω₂ = L/I₂ = 9/1,5 = 6 rad/s.
2. Varför måste en konståkares vinkelhastighet öka när hon drar in armarna, utan att någon yttre kraft trycker eller drar i henne?
Hennes rörelsemängdsmoment L = I·ω är bevarat eftersom inget yttre vridmoment verkar på henne under snurren. När hon drar in armarna minskar hennes tröghetsmoment I, och eftersom L måste förbli samma tvingas vinkelhastigheten ω att öka. Förändringen kommer helt inifrån, genom att hon omfördelar sin egen massa.
3. Två roterande skivor har exakt samma rörelsemängdsmoment L, men skiva A har ett mycket mindre tröghetsmoment än skiva B. Vilken skiva roterar snabbast?
Skiva A roterar snabbast. Eftersom L = I·ω är fast för båda, ger ett mindre tröghetsmoment en större vinkelhastighet för samma L: ω = L/I, så ett litet I i nämnaren ger ett stort ω.
Ur kursplanen
- Fysik – fördjupning · Krafter, rörelse, energi och elektromagnetism
Krafter, rörelse, energi och elektromagnetism, till exempel rörelse med luft- och vätskemotstånd, stötar i två dimensioner, rotationsrörelse, dämpad svängningsrörelse, växelströmskretsar, akustik, elektromagnetiska vågor och speciella relativitetsteorin.
Källa: Skolverket, centralt innehåll.
Hänger ihop med
Fler ämnen: Fysik – fördjupning