Begreppet enhetscirkeln. Definition av

Matte 3c

Sätt ett finger på en punkt på en cirkel med radien 1, centrerad i origo. Fingrets x-koordinat är cos(v) och y-koordinaten är sin(v), där v är vinkeln från den positiva x-axeln. Det är hela enhetscirkeln. Inte en abstraktion - en konkret geometrisk plats.

Det som gör enhetscirkeln kraftfull är att den förklarar saker som inte framgår av rätvinkliga trianglar: varför sin(150°) är positiv trots att 150° inte verkar vara en triangelvinkel, varför cosinus kan vara negativ, och varför sin(30°) = sin(150°) = 0,5. Allt hänger på var punkten befinner sig i koordinatsystemet och i vilken kvadrant.

Sambandet mellan grader och radianer klarnar också via cirkeln. En hel varv är 360° men också 2pi radianer, eftersom en cirkel med radien 1 har omkretsen 2pi. Därifrån följer att 180° = pi, 90° = pi/2, och 60° = pi/3. Det är inte godtyckliga omvandlingar - det är båglängder på en cirkel med radien 1.

Ur kursplanen: Begreppet enhetscirkeln. Definition av trigonometriska begrepp utifrån enhetscirkeln.

Det här lär du dig

✓Definiera sinus och cosinus som koordinater på enhetscirkeln
✓Läsa av exakta värden för standardvinklar: 0°, 30°, 45°, 60°, 90° och deras speglingar
✓Förklara varför sinus och cosinus kan vara negativa beroende på kvadrant
✓Konvertera korrekt mellan grader och radianer

övningstyper

∞

genererade uppgifter

anpassad svårighet

Vanliga utmaningar

Tror att sinus alltid är positiv

Eleven har bara sett enhetscirkeln i första kvadranten och vet inte att y-koordinaten (= sinus) är negativ i tredje och fjärde kvadranten. Rita alla fyra kvadranter och markera tecknen för sin och cos i var och en.

Blandar ihop sin och cos

Cos är x-koordinaten, sin är y-koordinaten. Skriv 'cos = x, sin = y' på varje uppgift tills det sitter automatiskt. Rita punkterna vid 0°, 90°, 180°, 270° och märk x och y explicit.

Fel vid omvandling grader till radianer

30° blir pi/6, inte pi/30. Utgå från att 180° = pi, dela sedan: 30° = 30/180 gånger pi = pi/6. Memorera paren (30° = pi/6, 45° = pi/4, 60° = pi/3) - det är snabbare än att räkna om varje gång.

Matte i vardagen

Din telefons kompassapp omvandlar en bäring, till exempel 315° för nordväst, till en x,y-riktningsvektor.

Enhetscirkeln ger exakt vilka cos- och sinusvärden som svarar mot den vinkeln, vilket sedan används för att rita pilen i rätt riktning på skärmen.

Växelströmmen i ett vanligt eluttag (230 V, 50 Hz) varierar som en sinuskurva 50 gånger per sekund.

Ingenjörer beskriver och beräknar spänning och fas med sinus- och cosinusfunktioner direkt kopplade till enhetscirkeln - det är grunden för hela kraftelektroniken.

Tips

💡Rita din egen enhetscirkel och fyll i koordinaterna för standardvinklarna för hand - att rita den en gång är värt tio gånger att läsa om den.
💡Memorera att cos = x och sin = y som ett mantrat; kontrollera alltid med ett känt värde (cos(0°) = 1, sin(90°) = 1) om du är osäker.
💡Lär dig vinkel-radian-paren utantill i grupper: 0°, 30°, 45°, 60°, 90° - resten följer av symmetri.

Exempeluppgifter

Använd referensvinklar för att bestämma trigonometriska funktioner. Använd referensvinklar för att bestämma alla sex trigonometriska funktioner för $−\frac{5π}{6}.$
$sin(\frac{7π}{4})cos(\frac{−2π}{3})$
$cot315°$