Bevis och användning av cosinus-, sinus- och

Matte 3c

Rätvinkliga trianglar är den enklaste varianten - men verkligheten är full av snedvinkliga trianglar. En lantmätare som ska beräkna ett markområde, en seglare som navigerar mot ett mål utan rät kurs, en arkitekt som ritar takstolar - de behöver alla verktyg för trianglar av alla slag. Det är här sinussatsen, cosinussatsen och areasatsen kommer in.

Nyckeln är att välja rätt sats utifrån vad du vet. Känner du till en vinkel och sidan mitt emot den, plus ytterligare en sida eller vinkel? Använd sinussatsen: a/sin A = b/sin B = c/sin C. Har du två sidor och vinkeln mellan dem, eller alla tre sidor? Det är cosinussatsen: c² = a² + b² - 2ab gånger cos C. Areasatsen ger arean direkt när du vet två sidor och vinkeln mellan dem: A = 1/2 gånger a gånger b gånger sin C - utan att behöva räkna ut höjden.

Bevisen är inte pynt - de visar varför satserna fungerar och hur de hänger ihop med Pythagoras och enhetscirkeln. Cosinussatsen är Pythagoras generaliserade form: om vinkeln C är 90° försvinner korrektionstermen och du får a² + b² = c². Den kopplingen gör det lättare att komma ihåg formeln rätt.

Ur kursplanen: Bevis och användning av cosinus-, sinus- och areasatsen.

Det här lär du dig

✓Formulera och tillämpa sinussatsen
✓Formulera och tillämpa cosinussatsen
✓Beräkna triangelns area med areasatsen
✓Välja rätt sats baserat på given information
✓Hantera sinusambiguiteten när det kan finnas två möjliga trianglar

övningstyper

∞

genererade uppgifter

anpassad svårighet

Vanliga utmaningar

Väljer fel sats

Ställ alltid frågan innan du skriver en formel: 'Har jag en sida och dess motvinkla?' används sinussatsen. 'Har jag två sidor och vinkeln mellan dem?' används cosinussatsen. Bestäm sats uttryckligen innan räknandet börjar.

Missar det andra svaret vid sinussatsen

sin(B) = 0,6 ger B ungefär 36,9° eller B ungefär 143,1°, eftersom sinus är positiv i både första och andra kvadranten. Kontrollera om den större vinkeln får vinkelsumman att överstiga 180° - om inte kan det finnas två giltiga trianglar.

Glömmer halvan i areasatsen

Areasatsen är A = 1/2 gånger a gånger b gånger sin C. Halvan glöms ofta. Härled formeln från A = 1/2 gånger bas gånger höjd och att höjden = b gånger sin C - då blir halvan självklar, inte något att memorera.

Matte i vardagen

En lantmätare mäter upp två sidor av ett markområde och vinkeln dem emellan.

Med areasatsen beräknas ytan direkt. Med cosinussatsen fås den tredje sidans längd utan att behöva förflytta sig dit.

En seglare känner till sin position C, ett märkes position A, och vinklarna från C till både A och ett annat märke B samt avståndet AB.

Sinussatsen ger de okända avstånden direkt från dessa uppgifter - klassisk triangelnavigering som använts på haven i hundratals år.

Tips

💡Rita alltid upp triangeln och märk ut vad du vet och vad du söker innan du väljer formel.
💡Memorera valet som en regel: en sida och dess motvinkla ger sinussatsen; två sidor och mellanlliggande vinkel ger cosinussatsen.
💡Verifiera alltid att vinkelsumman blir 180° - det avslöjar om du valt rätt gren i sinusambiguiteten.

Exempeluppgifter

$α=120°,b=6,c=7$
Bestäm sidan $b$ när $A=37°,$ $B=49°,$ $c=5.$
Användning av cosinussatsen för att lösa ett kommunikationsproblem. På många mobiltelefoner med GPS kan en ungefärlig plats anges innan GPS-signalen tas emot. Detta uppnås genom en process som kallas triangulering, som fungerar genom att använda avstånden från två kända punkter. Antag att det finns två mobilmaster inom räckhåll för en mobiltelefon. De två masterna är placerade 6000 fot ifrån varandra längs en rak motorväg, som går öster-väst, och mobiltelefonen är norr om motorvägen. Baserat på signalfördröjningen kan det fastställas att signalen är 5 050 fot från den första masten och 2 420 fot från den andra masten. Bestäm mobiltelefonens position norr och öster om den första masten, och bestäm hur långt den är från motorvägen.