Kurvanpassning och regression

Häng olika vikter på en fjäder och mät hur mycket den töjs, och punkterna hamnar nästan men inte helt på en rät linje – varje mätning har ett litet fel. Kurvanpassning handlar om att hitta den linje eller kurva som passar bäst genom alla punkterna tillsammans, i stället för att gissa en linje för hand mellan två utvalda punkter eller koppla ihop punkterna som en prickad bana.

Den vanligaste formen är linjär regression: att anpassa en rät linje y = k·x + m, där k är lutningen och m är skärningen med y-axeln. För fjäderdata med kraften på y-axeln och förlängningen på x-axeln är lutningen fjäderkonstanten, som säger hur mycket kraft som behövs för att töja fjädern en meter. Skärningen m säger vad linjen ger för y-värde när x är noll, vilket i ett väl utfört experiment ofta borde vara nära noll men i praktiken kan avvika något på grund av mätfel eller en förspänd fjäder. Ett tal nära 1 för bestämningskoefficienten R² visar att linjen beskriver mätpunkterna väl, medan ett lågt R²-värde är en signal att leta efter avvikande punkter eller en helt annan modell.

Data följer inte alltid en rät linje direkt. Misstänker du att en storhet y beror på kvadraten av x, kan du plotta y mot x² i stället för mot x – om det verkligen är ett kvadratiskt samband blir den nya grafen rät. På samma sätt kan en kurva som misstänks vara exponentiell, till exempel radioaktivt sönderfall, göras rät genom att plotta logaritmen av mätvärdet mot tiden. Denna teknik, linjärisering, gör det möjligt att läsa av lutning och skärning även för samband som från början ser krökta ut.

Kurvanpassning är inte bara matematik för matematikens skull, utan ett sätt att pröva en teori mot verklig mätdata. Stämmer teorin att kraften är proportionell mot töjningen, ska den anpassade linjen gå nära origo med en lutning som stämmer med den förväntade fjäderkonstanten. Avviker mätdata systematiskt från den anpassade linjen, snarare än att bara ligga utspritt runt den, är det ofta ett tecken på att modellen behöver justeras, inte bara mätningen.

Formel

y = k·x + m

Den räta linje som anpassas till mätdata vid linjär regression. k är lutningen, med enheten för y delad med enheten för x, och m är skärningen med y-axeln, med samma enhet som y. Båda tolkas utifrån vad x och y representerar fysikaliskt.

Det här lär du dig

Anpassa en rät linje till mätdata och tolka lutningen och skärningen fysikaliskt
Bedöma hur väl en anpassad linje passar data med hjälp av bestämningskoefficienten R²
Linjärisera ett kvadratiskt eller exponentiellt samband för att kunna använda linjär regression
Avgöra om avvikelser mellan data och den anpassade kurvan beror på mätfel eller en felaktig modell

Begrepp att kunna

Regression: En metod för att hitta den kurva, ofta en rät linje, som bäst beskriver en samling mätpunkter med spridning.
Skärning: Värdet där den anpassade linjen korsar y-axeln, det vill säga y-värdet när x är noll, ofta tolkat som ett startvärde eller en förskjutning.
Linjärisering: Att omvandla ett icke-linjärt samband till ett linjärt genom att byta variabel, till exempel plotta mot x² eller mot logaritmen av ett mätvärde.
Bestämningskoefficient (R²): Ett tal mellan 0 och 1 som anger hur väl en anpassad kurva beskriver mätdata, där värden nära 1 betyder god passning.

Vanliga svårigheter

Drar en linje mellan två utvalda punkter i stället för att anpassa efter alla

Att välja ut första och sista mätpunkten och dra en linje mellan dem ignorerar all information som ligger i övriga punkter, och råkar man välja två punkter med ovanligt stort mätfel blir hela linjen skev. En riktig anpassning tar hänsyn till samtliga punkter samtidigt och hittar den linje som ligger så nära alla punkter som möjligt.

Läser av lutningen och skärningen utan att koppla dem till fysiken

Att få fram k = 2,0 och m = 0,3 från en regression säger ingenting förrän du frågar vad dessa tal betyder i experimentet – är k en fjäderkonstant, en hastighet eller något helt annat? Siffror utan fysikalisk tolkning är bara matematik, inte ett resultat du kan använda eller redovisa.

Försöker tvinga en rät linje genom data som tydligt är krökt

Om mätpunkterna bildar en tydlig kurva snarare än en spridning runt en rät bana, ger en rät linje ett missvisande resultat även om den tekniskt sett kan beräknas. Innan du anpassar en linje, titta på hur punkterna faktiskt fördelar sig, och överväg om en linjärisering eller en annan kurvtyp passar bättre.

I verkligheten

En elev mäter kraft och förlängning för en fjäder vid tio olika vikter och anpassar en rät linje som ger F = 18·x + 0,2, där F är i newton och x är i meter.

Lutningen 18 är fjäderkonstanten i newton per meter, medan skärningen 0,2 N troligen beror på ett litet mätfel eller en förspänd fjäder som behöver en liten kraft innan den börjar töjas. Utan kurvanpassning hade varje enskild mätpunkt kunnat ge ett annat, mindre tillförlitligt värde på fjäderkonstanten.

En laborant mäter aktiviteten hos ett radioaktivt prov varje dag i två veckor och misstänker ett exponentiellt sönderfall.

Genom att plotta den naturliga logaritmen av aktiviteten mot tiden och anpassa en rät linje till de linjäriserade värdena kan laboranten läsa av sönderfallskonstanten λ ur lutningen, som blir −λ, trots att de råa mätpunkterna bildade en böjd kurva.

Tips

Rita alltid upp mätpunkterna och titta på dem innan du anpassar en kurva – formen på spridningen avslöjar ofta om en rät linje eller en linjärisering behövs.
Tolka lutningen och skärningen i varje fysikalisk enhet så snart du fått dem från en anpassning, i stället för att lämna dem som rena tal utan sammanhang.
Om data verkar krökt, prova att plotta om mot x², mot roten ur x eller mot logaritmen av y, och se vilken transformation som ger den rätaste linjen.

Testa dig själv

1. En regression ger linjen y = 4,0·x + 1,5 för en graf med kraft (y, i newton) mot förlängning (x, i meter). Vad representerar lutningen och skärningen?

Lutningen 4,0 N/m är fjäderkonstanten, det vill säga hur mycket kraft som krävs per meter förlängning. Skärningen 1,5 N är det värde linjen ger vid x = 0, vilket i ett perfekt experiment borde vara nära noll. Med lutningen 4,0 N/m motsvarar 1,5 N kraften för nästan 0,4 m förlängning, så skärningen tyder på ett tydligt systematiskt fel, till exempel att vikthållarens tyngd räknats med i kraften men inte i förlängningen, eller en förspänd fjäder.

2. Mätdata för sträcka mot tid för en vagn som startar från vila bildar en tydlig kurva, inte en rät linje. Hur kan du med linjärisering pröva om accelerationen är konstant?

Vid konstant acceleration från vila gäller s = a·t²/2, så plotta s mot t² i stället för mot t. Hamnar punkterna nära en rät linje genom origo är accelerationen konstant, och eftersom lutningen är a/2 blir accelerationen två gånger lutningen. Böjer punkterna av även i den nya grafen är accelerationen inte konstant.

3. Två anpassningar till samma mätdata ger R² = 0,97 för en rät linje och R² = 0,99 för en exponentiell kurva. Räcker det högre R²-värdet ensamt för att välja den exponentiella modellen?

Nej, ett högre R²-värde visar bara att kurvan matematiskt passar lite bättre, inte att den är fysikaliskt rimlig. Beslutet bör också bygga på vad teorin säger om processen som undersöks – om det finns en fysikalisk anledning att förvänta sig exponentiellt beteende, som vid radioaktivt sönderfall, stärker det valet av den modellen även vid en liten skillnad i R².

Ur kursplanen

Fysik nivå 1a1 · Fysiken i omvärlden
Beräkningar, regressionsanalys och analys av grafer. Storleksuppskattningar, enhetsanalys och mätnoggrannhet.
Fysik nivå 1a2 · Fysikens arbetsmetoder
Beräkningar, regressionsanalys och analys av grafer. Storleksuppskattningar, enhetsanalys och mätnoggrannhet.
Fysik nivå 1b · Fysikens arbetsmetoder
Beräkningar, regressionsanalys och analys av grafer. Storleksuppskattningar, enhetsanalys och mätnoggrannhet.
Fysik nivå 2 · Fysikens arbetsmetoder
Beräkningar, regressionsanalys och analys av grafer. Storleksuppskattningar, enhetsanalys, mätnoggrannhet och felberäkningar.

Källa: Skolverket, centralt innehåll.

Bygger på

Läsa av grafer i fysik

Träna vidare – gratis

Det här ämnet har inga egna träningsuppgifter än. De här närliggande ämnena har lösta exempel och uppgifter som anpassar sig efter dig: