Proportionalitet i formler

Dra en fjäder dubbelt så långt och kraften som drar tillbaka blir dubbelt så stor. Fördubbla hastigheten på en motorcykel och rörelseenergin blir inte dubbelt utan fyra gånger så stor. Att se denna typ av samband direkt i en formel, utan att räkna fram ett enda tal, är det proportionalitet handlar om.

Direkt proportionalitet skrivs y = k·x: när x fördubblas fördubblas också y, och grafen är en rät linje genom origo. Fjäderkraften F = k·x, som gäller så länge fjädern inte dras ut för långt, är ett klassiskt exempel – dubbel förlängning ger dubbel kraft, med fjäderkonstanten k som den oförändrade kopplingen mellan dem. Omvänd proportionalitet skrivs i stället y = k/x: när x fördubblas halveras y. Trycket och volymen för en instängd gas vid konstant temperatur följer detta enligt p·V = konstant – komprimerar du gasen till halva volymen fördubblas trycket.

Kvadratiska samband är ett tredje, ofta förbisett, mönster. Rörelseenergin E = ½·m·v² beror på hastigheten i kvadrat, så fördubblar du v blir E inte dubbelt utan (2)² = 4 gånger större. Det är en del av förklaringen till att en krock vid 100 km/h är så mycket farligare än en krock vid 50 km/h – energin som ska absorberas har fyrdubblats trots att farten bara dubblerats. Samma mönster syns i gravitationskraften, som avtar med kvadraten på avståndet: dubblerat avstånd ger en fjärdedel av kraften.

Att snabbt känna igen vilken typ av proportionalitet en formel visar gör dig snabbare och säkrare än att räkna fram varje svar från grunden. Står en storhet som en faktor i täljaren, medan de andra storheterna hålls konstanta, är sambandet direkt, står den i nämnaren är det omvänt, och står den upphöjd i två växer eller avtar effekten mycket snabbare än du först anar. Den förmågan låter dig förutsäga och kontrollera svar innan du ens plockat fram räknaren.

Formler

y = k·x

Direkt proportionalitet: y ändras med samma faktor som x. Fjäderkraften F = k·x, där F är kraften i newton, x förlängningen i meter och k fjäderkonstanten i N/m, är ett vanligt fysikexempel.

y = k/x

Omvänd proportionalitet: y minskar när x ökar, så att produkten x·y alltid är lika med k. Trycket p i pascal och volymen V i m³ för en instängd gas vid konstant temperatur följer detta samband.

Det här lär du dig

Skilja direkt, omvänd och kvadratisk proportionalitet i en fysikformel
Förutsäga hur en storhet förändras när en annan fördubblas eller halveras
Koppla ihop en formels struktur med utseendet på dess graf
Förklara varför kvadratiska samband växer mycket snabbare än direkta

Begrepp att kunna

Direkt proportionalitet: Ett samband y = k·x där två storheter ökar eller minskar med samma faktor. Grafen är en rät linje genom origo.
Omvänd proportionalitet: Ett samband y = k/x där den ena storheten minskar när den andra ökar, så att produkten av dem alltid är densamma.
Kvadratisk proportionalitet: Ett samband y = k·x² där y växer med kvadraten på x, så att en fördubbling av x ger en fyrdubbling av y.
Proportionalitetskonstant: Talet k som binder ihop de två storheterna i ett proportionellt samband och avgör hur stor den ena blir för ett givet värde på den andra.

Vanliga svårigheter

Antar att allt i en formel är direkt proportionellt

Många elever ser en formel med flera storheter och antar att alla ökar tillsammans. I p = F/A är trycket direkt proportionellt mot kraften men omvänt proportionellt mot arean: en mindre area ger ett större tryck för samma kraft, inte ett mindre. Läs av varje storhet för sig och kontrollera om den står i täljaren eller nämnaren.

Tror att kvadratiska samband dubblas som direkta samband

Rörelseenergin E = ½·m·v² lurar många till att tro att dubbel hastighet ger dubbel energi. Eftersom v är upphöjt i två blir effekten (2)² = 4 gånger, inte 2 gånger. Samma missuppfattning drabbar gravitationskraften, som är omvänt proportionell mot kvadraten på avståndet och inte bara mot avståndet.

Kan inte läsa av proportionaliteten utan att sätta in tal

Om en elev bara lärt sig att räkna med en formel utan att förstå dess struktur, måste hela uträkningen göras om för att se vad som händer när en variabel ändras. Den som i stället känner igen att en storhet sitter i nämnaren eller i kvadrat kan svara direkt på vad som händer, utan att röra räknaren.

I verkligheten

Två bilar krockar i en vägg, en i 50 km/h och en i 100 km/h.

Rörelseenergin är proportionell mot hastigheten i kvadrat, så om bilarna har samma massa bär den snabbare bilen på fyra gånger mer energi som måste tas upp av karossen vid krocken, inte bara dubbelt så mycket. Det är en av anledningarna till att hastighetsgränser är så avgörande för trafiksäkerheten.

Du håller för öppningen på en cykelpump och trycker ihop luften i pumpen till hälften av dess ursprungliga volym.

Enligt p·V = konstant fördubblas då trycket i pumpen, så länge temperaturen hålls oförändrad. Omvänd proportionalitet gör att små volymförändringar vid hög komprimering kan ge stora tryckökningar.

Tips

För varje formel du möter, kontrollera om den sökta storheten står i täljaren, i nämnaren eller i kvadrat – det avgör direkt, omvänt eller kvadratiskt samband utan att du behöver räkna.
Testa proportionaliteten mentalt: fråga dig vad som händer om du fördubblar en storhet, och kontrollera ditt svar mot en enkel uträkning efteråt för att bygga förtroende för tekniken.
Rita snabbt graferna för y = x, y = 1/x och y = x² på samma papper och jämför formerna – rät linje, hyperbel och parabel blir lätta att känna igen i framtida uppgifter.

Testa dig själv

1. En fjäder har kraftkonstanten k och lyder F = k·x. Vad händer med kraften om du drar fjädern till tre gånger sin ursprungliga förlängning?

Kraften blir tre gånger större, eftersom F är direkt proportionell mot x. Om x går från x till 3x blir F = k·3x = 3·(k·x), alltså tre gånger den ursprungliga kraften.

2. Varför ger en fördubbling av hastigheten i E = ½·m·v² fyra gånger så mycket energi i stället för dubbelt så mycket?

Hastigheten är upphöjd i två i formeln, så energin beror på v², inte på v. När v fördubblas blir v² lika med (2v)² = 4v², alltså fyra gånger det ursprungliga värdet. Kvadratiska samband förstärker förändringen mycket mer än direkta samband gör.

3. Gravitationskraften mellan två kroppar är F = G·m₁·m₂/r². Vad händer med kraften om avståndet r halveras?

Kraften blir fyra gånger större. Eftersom r² står i nämnaren och är omvänt proportionellt mot kraften, ger en halvering av r att r² blir en fjärdedel, vilket gör att kraften F = G·m₁·m₂/r² i stället fyrdubblas.

Ur kursplanen

Fysik åk 7–9 · Fysiken i naturen och samhället
Några instrument för att mäta fysikaliska storheter, till exempel kraft och ström. Användning av mätvärden i enkla beräkningar, till exempel beräkningar av densitet och hastighet.
Fysik nivå 1a1 · Fysiken i omvärlden
Beräkningar, regressionsanalys och analys av grafer. Storleksuppskattningar, enhetsanalys och mätnoggrannhet.
Fysik nivå 1a2 · Fysikens arbetsmetoder
Beräkningar, regressionsanalys och analys av grafer. Storleksuppskattningar, enhetsanalys och mätnoggrannhet.
Fysik nivå 1b · Fysikens arbetsmetoder
Beräkningar, regressionsanalys och analys av grafer. Storleksuppskattningar, enhetsanalys och mätnoggrannhet.
Fysik nivå 2 · Fysikens arbetsmetoder
Beräkningar, regressionsanalys och analys av grafer. Storleksuppskattningar, enhetsanalys, mätnoggrannhet och felberäkningar.

Källa: Skolverket, centralt innehåll.

Bygger på

Formelomvandling – lös ut en storhet

Träna vidare – gratis

Det här ämnet har inga egna träningsuppgifter än. De här närliggande ämnena har lösta exempel och uppgifter som anpassar sig efter dig: