Formelomvandling – lös ut en storhet
En formel i formelsamlingen är oftast skriven på ett bestämt sätt, men uppgiften frågar nästan aldrig precis efter den storheten som redan står ensam. Vet du kraften och massan men söker accelerationen, måste du skriva om F = m·a till a = F/m innan du kan räkna. Den omskrivningen, formelomvandling, bygger på en enda grundregel: gör exakt samma operation på båda sidor av likhetstecknet, så förblir sambandet sant.
För enkla formler räcker ett steg. Ur F = m·a löser du ut massan genom att dividera båda sidor med a: F/a = m. För formler med en storhet i kvadrat behövs fler steg i rätt ordning. Ur rörelseenergin E = ½·m·v² löser du ut hastigheten genom att först multiplicera båda sidor med 2, sedan dividera med m, och till sist ta kvadratroten av båda sidor: v = √(2E/m). Hoppar du över ett steg, eller tar roten bara av v² och glömmer att roten gäller hela sidan, blir resultatet fel trots att varje enskild regel känns bekant.
Ett vanligt exempel är pendelformeln T = 2π·√(L/g), som ger svängningstiden för en pendel med längden L när utslagen är små. Vill du i stället bestämma tyngdaccelerationen g utifrån uppmätta T och L, delar du båda sidor med 2π, kvadrerar båda sidor för att bli av med roten, och löser till sist ut g: g = 4π²·L/T². Utan denna omvandling går det inte att vända en mätning till ett svar, trots att alla siffror redan finns.
Den bästa kontrollen efter en omvandling är enhetsanalys: sätt in enheterna för de kända storheterna och se om resultatet får rätt enhet för det du löste ut. Får g enheten m/s² har omvandlingen klarat kontrollen, även om en tappad sifferfaktor som 4π² inte syns där. Får du i stället något som liknar sekunder eller meter har ett steg blivit fel. En formel du kan vända och vrida på efter behov är ett mycket kraftfullare verktyg än tio formler du bara kan använda åt ett håll.
Det här lär du dig
- Lösa ut en okänd storhet från en formel genom att göra samma operation på båda sidor
- Hantera formelomvandling i flera steg när en storhet står i kvadrat eller under en rot
- Kontrollera en omvandlad formel genom enhetsanalys
- Avgöra i vilken ordning operationerna ska göras för att isolera rätt storhet
Begrepp att kunna
- Formelomvandling
- Att skriva om en formel genom algebraiska steg så att en annan storhet än den ursprungliga står ensam på en sida av likhetstecknet.
- Isolera
- Att få den storhet du söker att stå helt ensam på en sida av likhetstecknet, utan att vara en del av en multiplikation, kvot eller rot.
- Motsatt operation
- Den operation som upphäver en annan: division upphäver multiplikation, subtraktion upphäver addition, och kvadratrot upphäver kvadrat.
- Enhetsanalys av en omvandlad formel
- Att sätta in enheterna för de kända storheterna i den nya formeln och kontrollera att resultatet får den enhet den lösta storheten borde ha.
Vanliga svårigheter
Utför operationen bara på den sida där den okända storheten sitter
En vanlig miss är att dividera eller multiplicera bara höger sida av likhetstecknet och låta vänster sida stå orörd. Ekvationen förblir bara sann om exakt samma operation görs på båda sidor samtidigt. Ur F = m·a blir det F/a = m, inte F = m, eftersom du måste dividera hela vänstersidan också.
Tar roten av bara v² och glömmer resten av sidan
I en formel som 2E = m·v² är det säkrast att först dividera med m så att v² står ensamt, och sedan ta roten av båda sidor: v = √(2E/m). Tar du roten tidigare måste den gälla hela högersidan, √(m·v²) = √m·v. Det vanliga felet är att bara ta roten av v² och låta m stå kvar, √(2E) = m·v, vilket ger ett helt annat svar.
Glömmer att göra om formeln stegvis och försöker lösa ut allt på en gång
Formler med flera operationer, som pendelformeln med både en kvot och en rot, kräver att varje steg görs för sig i rätt ordning: först det som ligger längst från den sökta storheten, sist det som ligger närmast. Försöker du hoppa direkt till svaret blandas ofta operationerna ihop och ett tecken eller en kvadrat glöms bort.
I verkligheten
En elev mäter en pendels längd och svängningstid vid små utslag i ett labb och vill bestämma tyngdaccelerationen på platsen där experimentet utförs.
Genom att lösa ut g ur T = 2π·√(L/g) till g = 4π²·L/T² kan eleven räkna fram ett mätt värde på g och jämföra det med det kända 9,82 m/s², vilket avslöjar både mätfel och hur bra experimentet fungerade.
En tekniker vet effekten och spänningen för ett elelement och behöver strömstyrkan för att välja rätt säkring.
Ur P = U·I löser teknikern ut I = P/U. Utan att kunna vända på formeln skulle varje ny kombination av kända och sökta storheter kräva en helt egen formel att slå upp.
Tips
- Identifiera vilken storhet du ska lösa ut innan du börjar räkna, och arbeta sedan utifrån och in: ta bort det som ligger längst från den storheten först.
- Skriv varje omvandlingssteg på sin egen rad, även när det känns långsamt – det gör det lätt att hitta exakt var ett fel smugit sig in om svaret senare visar sig bli orimligt.
- Avsluta alltid med en enhetsanalys av den nya formeln. Stämmer inte enheten för den lösta storheten, är ett steg i omvandlingen fel, även om algebran såg korrekt ut.
Testa dig själv
1. Lös ut m ur rörelseenergin E = ½·m·v² och kontrollera enheten på svaret.
Multiplicera båda sidor med 2: 2E = m·v². Dividera med v²: m = 2E/v². Enhetskontroll: [m] = J/(m/s)² = (kg·m²/s²)/(m²/s²) = kg, vilket är rätt enhet för massa.
2. Varför är det säkrast att få v² ensamt innan du tar kvadratroten när du löser ut v ur E = ½·m·v²?
Roten måste tas av hela sidan, inte av en enskild faktor. När v² står ensamt, v² = 2E/m, räcker det att ta roten av båda sidor och du får v = √(2E/m) direkt. Tar du roten medan ½ och m står kvar är det lätt att bara ta roten av v² och skriva √E = ½·m·v, vilket ger fel svar.
3. Lös ut radien r ur Coulombs lag F = k·q₁·q₂/r² och ange enheten för svaret om k, q och F har SI-enheter.
Multiplicera båda sidor med r²: F·r² = k·q₁·q₂. Dividera med F: r² = k·q₁·q₂/F. Ta kvadratroten: r = √(k·q₁·q₂/F). Enhetskontroll: k har enheten N·m²/C², så k·q₁·q₂/F får enheten (N·m²/C²)·C²/N = m², och roten ger meter, som det ska vara för ett avstånd.
Ur kursplanen
- Fysik åk 7–9 · Fysiken i naturen och samhället
Några instrument för att mäta fysikaliska storheter, till exempel kraft och ström. Användning av mätvärden i enkla beräkningar, till exempel beräkningar av densitet och hastighet.
- Fysik nivå 1a1 · Fysiken i omvärlden
Beräkningar, regressionsanalys och analys av grafer. Storleksuppskattningar, enhetsanalys och mätnoggrannhet.
- Fysik nivå 1a2 · Fysikens arbetsmetoder
Beräkningar, regressionsanalys och analys av grafer. Storleksuppskattningar, enhetsanalys och mätnoggrannhet.
- Fysik nivå 1b · Fysikens arbetsmetoder
Beräkningar, regressionsanalys och analys av grafer. Storleksuppskattningar, enhetsanalys och mätnoggrannhet.
- Fysik nivå 2 · Fysikens arbetsmetoder
Beräkningar, regressionsanalys och analys av grafer. Storleksuppskattningar, enhetsanalys, mätnoggrannhet och felberäkningar.
Källa: Skolverket, centralt innehåll.
Hänger ihop med
Bygger på
Leder vidare till
Träna vidare – gratis
Det här ämnet har inga egna träningsuppgifter än. De här närliggande ämnena har lösta exempel och uppgifter som anpassar sig efter dig: