Värdesiffror och avrundning

Mät tjockleken på samma bordsskiva med en linjal och med ett digitalt skjutmått och du får olika antal säkra siffror: 25 millimeter mot 24,83 millimeter. Båda kan vara korrekta, men de säger olika mycket om hur noga mätningen gjordes. De siffror som faktiskt speglar mätningens noggrannhet kallas värdesiffror, och lär du dig räkna dem kan du se direkt hur tillförlitligt ett tal är.

Alla siffror utom inledande nollor räknas som värdesiffror. I 0,0052 är det bara 5 och 2 som räknas, de tre nollorna före är enbart platshållare för decimaltecknet. I 5,02 räknas alla tre siffrorna, eftersom nollan ligger mellan två andra siffror. Är talet skrivet utan decimaler, som 1 200, är det oklart hur många nollor som är säkra – skriv då i tiopotensform: 1,2·10³ har två värdesiffror, 1,20·10³ har tre.

Vid multiplikation och division ska svaret ha samma antal värdesiffror som den minst exakta mätningen i uträkningen. Faller en sten i ett experiment där du mätt tiden till 1,5 s (två värdesiffror) och använder g = 9,8 m/s² (två värdesiffror) i formeln s = ½·g·t², blir resultatet matematiskt s = ½·9,8·1,5² = 11,025 m. Eftersom båda ingångsvärdena bara har två värdesiffror ska svaret avrundas till 11 m, inte skrivas med alla fem siffror räknaren visar. Vid addition och subtraktion gäller i stället en annan regel: svaret avrundas till samma antal decimaler som den term som har färst decimaler, inte till samma antal värdesiffror.

Avrundning följer en fast regel: är nästa siffra 5 eller högre rundar du upp, annars rundar du ned. Avrunda bara en gång, i sista steget – avrundar du redan efter varje delsteg i en lång uträkning byggs små fel på varandra och slutsvaret kan bli fel. I experimentell fysik är detta mer än ordning: att skriva ett resultat med fler värdesiffror än mätningen tillåter påstår en noggrannhet du aldrig hade, vilket är lika missvisande som att runda av för mycket och dölja verklig information.

Det här lär du dig

Räkna antalet värdesiffror i ett mätvärde, inklusive knepiga nollor
Tillämpa reglerna för värdesiffror vid multiplikation, division, addition och subtraktion
Avrunda ett beräknat svar till rätt antal värdesiffror utan att runda för tidigt
Skriva ett tal i tiopotensform för att göra antalet värdesiffror tydligt

Begrepp att kunna

Värdesiffra: En siffra i ett mätvärde som speglar mätningens faktiska noggrannhet, till skillnad från siffror som bara håller plats för decimaltecknet.
Platshållande nolla: En nolla som bara anger storleksordningen, inte en säker siffra, till exempel de inledande nollorna i 0,0052.
Tiopotensform: Ett tal skrivet som a·10ⁿ, där antalet siffror i a visar exakt hur många värdesiffror talet har utan att nollor behöver tolkas.
Avrundning: Att minska antalet siffror i ett tal enligt en fast regel: nästa siffra 5 eller högre ger uppåtrundning, annars nedåtrundning.

Vanliga svårigheter

Förväxlar antal decimaler med antal värdesiffror

Talet 5,2 har en decimal men två värdesiffror, medan 0,052 har tre decimaler men bara två värdesiffror. Decimaler räknas från decimaltecknet, värdesiffror räknas från den första siffran som inte är en inledande nolla. Att blanda ihop de två begreppen leder ofta till att man avrundar till fel antal siffror.

Skriver av alla siffror räknaren visar

En uträkning som 3,2 · 4,15 ger på räknaren 13,28, men eftersom 3,2 bara har två värdesiffror ska svaret avrundas till 13. Räknaren vet inte vilken noggrannhet dina mätvärden hade, så den extra precisionen i displayen är skenbar och ska tas bort innan du skriver ditt slutsvar.

Avrundar mellanresultat i flera steg på vägen

Rundas ett mellanresultat av för tidigt i en flerstegsuträkning, till exempel efter varje division, staplas små avrundningsfel på varandra och slutsvaret kan hamna fel. Håll alla siffror du kan under hela uträkningen och avrunda bara det färdiga svaret till rätt antal värdesiffror i sista steget.

I verkligheten

En bilist nollställer trippmätaren, kör tills den visar 125 km och tankar sedan fullt med 8,43 liter bensin.

Räknaren ger 8,43 / 125 = 0,06744 liter per kilometer, men eftersom båda mätvärdena har tre värdesiffror ska förbrukningen anges med tre: 0,0674 l/km, alltså 0,674 liter per mil. Att skriva 0,06744 ger ett falskt intryck av en precision som mätningarna aldrig hade.

En mekaniker mäter ett hål i en maskindel till 25,3 mm med ett skjutmått och ska beställa en passande bult.

De tre värdesiffrorna säger att hålet är känt till en tiondels millimeter. Rapporterar mekanikern i stället 25 mm tolkar beställningen det som ett värde mellan 24,5 och 25,5 mm, vilket kan ge en bult som sitter löst eller inte går i alls.

Tips

Räkna och skriv ner hur många värdesiffror varje mätvärde har innan du börjar räkna, så vet du redan på förhand till vilket antal siffror svaret ska avrundas.
Skriv tal med oklara nollor i tiopotensform, till exempel 3,0·10² i stället för 300, så syns antalet värdesiffror direkt utan att någon behöver gissa.
Behåll alla siffror på räknaren genom hela uträkningen och avrunda bara det slutgiltiga svaret, aldrig mellanresultaten på vägen.

Testa dig själv

1. Hur många värdesiffror har talen 0,00430 och 2 500?

0,00430 har tre värdesiffror: 4, 3 och 0. De inledande nollorna räknas inte, men den avslutande nollan efter decimaltecknet räknas eftersom den visar att mätningen var noga till just den siffran. 2 500 utan decimaltecken är tvetydigt och bör skrivas som 2,5·10³ (två värdesiffror) eller 2,500·10³ (fyra), beroende på hur noga mätningen faktiskt var.

2. Varför kan ett svar med fler värdesiffror än de ingående mätvärdena vara missvisande, även om räkningen är matematiskt korrekt?

Ett beräknat svar kan aldrig vara noggrannare än den minst exakta mätningen som gick in i uträkningen. Skriver du fler siffror än det, påstår du en precision som mätningen aldrig hade, vilket kan få andra att lita på resultatet mer än de borde, till exempel i en labbrapport eller en konstruktionsritning.

3. Du mäter sträckan 124,0 cm och tiden 2,5 s för ett föremål. Beräkna medelhastigheten med rätt antal värdesiffror.

Matematiskt blir 124,0 cm / 2,5 s = 49,6 cm/s. Tiden 2,5 s har bara två värdesiffror, vilket är färre än sträckans fyra, så svaret måste avrundas till två värdesiffror: 50 cm/s, eller 5,0·10¹ cm/s om du vill vara tydlig med tiopotensform.

Ur kursplanen

Fysik åk 7–9 · Fysiken i naturen och samhället
Några instrument för att mäta fysikaliska storheter, till exempel kraft och ström. Användning av mätvärden i enkla beräkningar, till exempel beräkningar av densitet och hastighet.
Fysik nivå 1a1 · Fysiken i omvärlden
Beräkningar, regressionsanalys och analys av grafer. Storleksuppskattningar, enhetsanalys och mätnoggrannhet.
Fysik nivå 1a2 · Fysikens arbetsmetoder
Beräkningar, regressionsanalys och analys av grafer. Storleksuppskattningar, enhetsanalys och mätnoggrannhet.
Fysik nivå 1b · Fysikens arbetsmetoder
Beräkningar, regressionsanalys och analys av grafer. Storleksuppskattningar, enhetsanalys och mätnoggrannhet.
Fysik nivå 2 · Fysikens arbetsmetoder
Beräkningar, regressionsanalys och analys av grafer. Storleksuppskattningar, enhetsanalys, mätnoggrannhet och felberäkningar.

Källa: Skolverket, centralt innehåll.

Bygger på

SI-enheter

Träna vidare – gratis

Det här ämnet har inga egna träningsuppgifter än. De här närliggande ämnena har lösta exempel och uppgifter som anpassar sig efter dig: