Oberoende och beroende händelse
Matte 1c
Kursplaneförankrat (Lgr22/Gy25) och granskat av Mikael Fallström, grundare och ansvarig redaktör.
Att kasta en tärning och sedan kasta den igen — de två kasten har ingenting med varandra att göra. Tärningen minns inte att den visade sexa förra gången. Det är en oberoende händelse. Men om du drar ett kort ur en kortlek och inte lägger tillbaka det, påverkar det första draget direkt vad som är kvar för det andra. Det är en beroende händelse, och sannolikhetsberäkningen ser annorlunda ut.
Skillnaden är avgörande för att räkna rätt. Vid oberoende händelser multiplicerar du sannolikheterna rakt av: P(6 och 6) = 1/6 × 1/6 = 1/36. Vid beroende händelser måste du uppdatera täljaren och nämnaren efter varje drag. Om du drar ett spader ur en kortlek med 52 kort utan att lägga tillbaka, är sannolikheten för nästa spader inte 13/52 utan 12/51.
Komplementhändelsen är ett kraftfullt räkneredskap: ibland är det enklare att räkna sannolikheten för att något inte händer och sedan dra av från 1. Minst en sexa på två kast är svårt att räkna direkt, men P(ingen sexa alls) = 5/6 × 5/6 = 25/36, och då är svaret 1 − 25/36 = 11/36.
Ur kursplanen: Begreppen oberoende och beroende händelse samt komplementhändelse. Metoder för att beräkna sannolikheter i flera steg, inklusive exempel från spel, risk- och säkerhetsbedömningar.
Det här lär du dig
- ✓Avgöra om två händelser är oberoende eller beroende av varandra
- ✓Beräkna sannolikheter i flera steg med multiplikation
- ✓Uppdatera sannolikheter korrekt vid beroende händelser utan återläggning
- ✓Använda komplementhändelsen för att förenkla sannolikhetsberäkningar
Vanliga utmaningar
Tror att slumpen balanserar sig
Om en tärning visat sexa tre gånger i rad är sannolikheten för sexa nästa slag fortfarande 1/6. Tärningen minns ingenting. Att tro att nu måste det bli något annat är ett av de vanligaste missförstånden inom sannolikhet och det är djupt rotat.
Adderar sannolikheter där man ska multiplicera
Sexa och sedan sexa kräver multiplikation: 1/6 × 1/6 = 1/36. Addition används för sexa eller femma på ett enda kast. Läs frågan högt och markera ordet: OCH → gånger. ELLER → plus.
Ser inte när komplement är den enklare vägen
Minst en sexa på tre kast är krångligare att räkna direkt än att beräkna P(ingen sexa alls) = (5/6)³ och dra ifrån 1. Fråga dig alltid: är det lättare att räkna vad som inte händer och sedan använda 1 minus det svaret?
Matte i vardagen
Kortspel utan återläggning
Du behöver dra två spader i rad. Första draget: 13/52. Andra draget utan återläggning: 12/51. Oddsen förändras eftersom kortleken är en enhet kortare nu. Förstår du inte beroendet tror du att chansen är bättre än den faktiskt är.
Medicinska snabbtester och felaktiga positiva
Ett test som är rätt 95 % av gångerna låter pålitligt, men sannolikheten att faktiskt vara sjuk givet ett positivt test beror på hur vanlig sjukdomen är i befolkningen — händelserna är beroende av varandra. Läkare som inte förstår detta kan ordinera onödig behandling.
Tips
- 💡Gör ett fysiskt experiment: dra ett kort, lägg tillbaka det och dra igen. Sedan gör du samma sak utan återläggning. Räkna oddsen för att få samma kort båda gångerna — skillnaden syns direkt i siffrorna.
- 💡Skriv OCH → × och ELLER → + och ha det framme tills du aldrig tvekar. Det är den enskilt vanligaste källan till räknefel i sannolikhetsuppgifter.
- 💡Prova alltid komplementmetoden som ett alternativ och välj sedan det kortare räknesättet. Räkna P(ingenting händer) och dra ifrån 1 — det är ofta halva arbetet.
Exempeluppgifter
- Bestäm antalet sätt att ordna bokstäverna i ordet NINE.
- Mönstret för Pascals triangel illustreras i diagrammet som visas. Vad är det fjärde elementet i rad 15 i Pascals triangel? $$ \begin{array}{ccccccccccccc}\vspace{0.1in} \textrm{Row 0}: & \qquad & & & & & 1 & & & & & & \\ \vspace{0.1in} \textrm{Row 1}: & \qquad & & & & 1 & & 1 & & & & &\\ \vspace{0.1in} \textrm{Row 2}: & \qquad & & & 1 & & 2 & & 1 & & & &\\ \vspace{0.1in} \textrm{Row 3}: & \qquad & & 1 && 3 && 3 && 1&& \\ \vspace{0.1in} \textrm{Row 4}: & \qquad & 1&& 4 && 6 && 4 && 1 \end{array} $$
- En spelare betalar $\$ för att spela ett spel. En sexsidig tärning kastas. Om talet på tärningen är udda förlorar man spelet. Om talet på tärningen är jämnt kastas tärningen igen. I detta fall vinner spelaren en viss summa pengar om det andra talet matchar det första, och förlorar annars. Hur mycket pengar bör spelaren vinna om spelet är rättvist? (I ett rättvist spel är sannolikheten att vinna multiplicerat med den vunnna summan det spelaren bör betala.)
Testa dina kunskaper
Gör en gratis diagnos och se exakt var du behöver träna mer inom oberoende och beroende händelse.