Begreppen sinus, cosinus och tangens. Begreppet

Matte 1c

En lantmätare behöver inte gå ut och mäta varje sida av en triangel för att veta hur lång den är — med en vinkel och en känd sida kan han räkna ut resten. Det är vad trigonometri handlar om: ett systematiskt sätt att översätta mellan vinklar och sträckor.

Sinus, cosinus och tangens är namngivna förhållanden mellan sidorna i en rätvinklig triangel. sin(v) är alltid förhållandet mellan motstående katет och hypotenusa, oavsett hur stor triangeln är. Det spelar ingen roll om det är en liten triangel på ett papper eller en enorm bergskant — förhållandet är detsamma för samma vinkel. Akronymen SohCahToa samlar de tre definitionerna: Sin = Opposite/Hypotenuse, Cos = Adjacent/Hypotenuse, Tan = Opposite/Adjacent.

Arcusfunktionerna — arcsin, arccos och arctan — är de omvända: istället för att gå från vinkel till förhållande går du från förhållande till vinkel. Om du vet hur långa kateterna är men inte vinkeln, använder du arctan. Det enda du behöver hålla koll på: kontrollera alltid att räknaren är inställd på grader när du arbetar med grader, annars blir svaret helt fel.

Ur kursplanen: Begreppen sinus, cosinus och tangens. Begreppet invers funktion i samband med arcusfunktioner. Metoder för att beräkna sträckor och vinklar i koordinatsystem och i rätvinkliga trianglar.

Det här lär du dig

✓Definiera sinus, cosinus och tangens som förhållanden mellan sidor i en rätvinklig triangel
✓Beräkna en okänd sida i en rätvinklig triangel med trigonometriska funktioner
✓Använda arcusfunktioner (arcsin, arccos, arctan) för att beräkna en okänd vinkel
✓Avgöra vilken funktion som passar för ett givet problem utifrån vilka sidor som är kända

övningstyper

∞

genererade uppgifter

anpassad svårighet

Vanliga utmaningar

Förväxlar motstående och närliggande katет

Vilken katет som är motstående beror på vilken vinkel du tittar på — det är sidan som inte rör vinkeln. Peka fysiskt på vinkeln och sedan på sidan rakt mitt emot den. Gör det som en rutin innan varje uppgift, inte som ett efterhandskontroll.

Väljer fel funktion när man ska hitta vinkeln

Om du har de två kateterna ska du använda tan och arctan för att hitta vinkeln, inte sin. Beslutsträd: har du hypotenusa inblandad? Använd sin eller cos. Har du bara de två kateterna? Använd tan.

Räknarläget är fel — grader eller radianer

sin(90°) ska alltid ge exakt 1. Om din räknare visar något annat är den inställd på radianer. Kontrollera detta i början av varje uppgiftspass — trettio sekunder nu sparar dig tjugo minuter av förvirring.

Matte i vardagen

Beräkna takvinkeln vid husritning

En arkitekt med 4 meter långa takbjälkar och 6 meter bred husvägg räknar ut takvinkeln med arctan(4/3) ≈ 53°. För liten vinkel innebär att vatten stannar på taket; för stor vinkel innebär att snö glider av okontrollerat.

GPS och positionsberäkning

GPS-system beräknar konstant positioner och avstånd trigonometriskt. Att känna till en vinkel och ett avstånd räcker för att beräkna koordinater — samma princip som du använder när du löser uppgifter om rätvinkliga trianglar.

Tips

💡Skriv SohCahToa på ett litet kort och ha det framme tills du kan det utan att titta. Det är inte fusk — det är ett yrkesverktyg som alla som arbetar med trigonometri använder.
💡Rita alltid triangeln och märk ut alla kända sidor och vinklar innan du väljer formel. Ser du hypotenusa? Det styr om du ska använda sin, cos eller tan.
💡Kontrollera att sin(90°) = 1 på din räknare i början av varje uppgiftspass. Det tar trettio sekunder och avslöjar direkt om räknaren är i fel läge.

Exempeluppgifter

I den konvexa fyrhörningen $ABCD$ är $AB=BC=13$, $CD=DA=24$ och $\angle D=60^\circ$. Punkterna $X$ och $Y$ är mittpunkterna på $\overline{BC}$ respektive $\overline{DA}$. Beräkna $XY^2$ (kvadraten på längden av $XY$).
Triangeln $ABC$ har en omkrets på 2007 enheter. Sidorna har längder som är heltal med $AB< BC \leq AC$. Vad är det minsta möjliga värdet av $BC - AB$?
$f(x)=7x$ och $g(x)=\frac{x}{7}$