Kaströrelse

Fysik nivå 2

Kaströrelse är rörelsen hos ett föremål som kastas eller skjuts iväg i en riktning som inte är rakt upp eller ner, och som sedan bara påverkas av tyngdkraften. Nyckeln till att förstå den är att dela upp rörelsen i två oberoende delar: en horisontell och en vertikal, som sker samtidigt men inte påverkar varandra.

Horisontellt verkar ingen kraft om luftmotståndet försummas, så farten i den riktningen är konstant genom hela kastet: x = v₀ₓ · t. Ett föremål som rör sig 8 m/s horisontellt gör det från första till sista ögonblicket i luften, oavsett vad som samtidigt händer vertikalt.

Vertikalt är föremålet i fritt fall, med tyngdaccelerationen g ≈ 9,82 m/s² riktad nedåt. Räknar man uppåt som positiv riktning blir hastigheten v_y = v₀ᵧ − g·t och höjden y = v₀ᵧ·t − g·t²/2, där v₀ᵧ är noll för ett rent horisontellt kast och positiv för ett kast snett uppåt. Denna del av rörelsen är samma fritt fall som gäller för ett föremål som bara släpps rakt ned.

Kombinationen av en rörelse med konstant fart och en rörelse med konstant acceleration ger alltid en parabel. Landar kastet på samma höjd det startade från ges räckvidden av R = v₀² · sin(2θ) / g, där θ är kastvinkeln mot marken. Räckvidden blir störst vid θ = 45 grader, och två vinklar som ligger lika långt från 45 grader åt varsitt håll, till exempel 30 och 60 grader, ger exakt samma räckvidd.

Flygtiden avgörs helt av den vertikala rörelsen, aldrig av den horisontella farten. Ett föremål som släpps rakt ner från en bordskant och ett som samtidigt rullar av kanten med hög fart når golvet på exakt samma tid, trots att det ena bara faller rakt ner och det andra hinner längre bort innan det landar.

Formler

x = v₀ₓ · t

Horisontell förflyttning x i meter efter tiden t i sekunder, med konstant horisontell starthastighet v₀ₓ i m/s. Gäller utan luftmotstånd.

y = v₀ᵧ · t − g·t²/2

Vertikal förflyttning y i meter, med uppåt som positiv riktning. v₀ᵧ är vertikal starthastighet i m/s (noll vid horisontellt kast), g ≈ 9,82 m/s², t är tid i sekunder.

v_y = v₀ᵧ − g·t

Vertikal hastighet v_y i m/s vid tiden t, med uppåt som positiv riktning. Blir noll i kastets högsta punkt och negativ på väg ner.

R = v₀² · sin(2θ) / g

Räckvidden R i meter för ett kast med starthastighet v₀ i m/s och kastvinkel θ mot marken, bara giltig när start- och landningshöjd är samma. Störst vid θ = 45°.

Det här lär du dig

Dela upp en kaströrelse i en horisontell och en vertikal komponent som inte påverkar varandra
Beräkna position och hastighet vid tiden t med x = v₀ₓ·t och y = v₀ᵧ·t − g·t²/2
Beräkna flygtid och räckvidd för ett kast som landar på samma höjd det startade
Förklara varför kastbanan blir en parabel
Avgöra hur kastvinkeln påverkar räckvidd och maxhöjd

Begrepp att kunna

Kaströrelse: Rörelse i två dimensioner hos ett föremål som bara påverkas av tyngdkraften, med en starthastighet som inte är rakt upp eller ner.
Horisontell komponent: Delen av rörelsen parallell med marken. Farten i den riktningen är konstant genom hela kastet, eftersom ingen kraft verkar horisontellt.
Vertikal komponent: Delen av rörelsen vinkelrätt mot marken. Den är ett fritt fall med tyngdaccelerationen g, oavsett vad som händer horisontellt.
Räckvidd: Det horisontella avståndet från startpunkten till landningspunkten. Beror på starthastigheten, kastvinkeln och om start- och landningshöjd är lika.
Flygtid: Tiden ett föremål befinner sig i luften, från kast till landning. Bestäms enbart av den vertikala rörelsen, inte av den horisontella farten.

Vanliga svårigheter

Blandar ihop horisontell och vertikal rörelse

Ett vanligt fel är att använda den vertikala rörelsens formler på den horisontella riktningen, eller tvärtom. De två riktningarna måste hållas helt isär: horisontellt är farten konstant, vertikalt är rörelsen accelererad av g.

Glömmer att dela upp starthastigheten i komponenter

Kastas något i en vinkel måste starthastigheten delas upp innan man räknar: v₀ₓ = v₀ · cos(θ) och v₀ᵧ = v₀ · sin(θ). Att sätta in hela v₀ direkt i en av riktningarnas formler ger ett svar som är för stort i den riktningen och saknas helt i den andra.

Tror att flygtiden beror på den horisontella farten

Flygtiden bestäms enbart av den vertikala rörelsen, det vill säga av starthöjden, starthastigheten uppåt och g. Ett föremål som kastas horisontellt med hög fart och ett som bara släpps rakt ner från samma höjd landar på exakt samma tid, även om det ena hamnar långt bort och det andra rakt under startpunkten.

I verkligheten

En skateboardåkare lämnar kanten av en ramp horisontellt med farten 6 m/s, 1,2 meter ovanför marken.

Flygtiden ges av höjden: y = −g·t²/2, så t = √(2 · 1,2 / 9,82) ≈ 0,49 sekunder. Under den tiden hinner åkaren cirka 6 · 0,49 ≈ 3 meter framåt, helt oberoende av hur brant rampen var.

En friidrottare gör ett längdhopp och lämnar marken i en vinkel på ungefär 20 grader med farten 8 m/s.

Räckvidden blir R = 8² · sin(40°) / 9,82 ≈ 64 · 0,643 / 9,82 ≈ 4,2 meter, vilket är en rimlig hopplängd för en motionär. Enligt formeln skulle en brantare vinkel, upp mot 45°, ge ett längre hopp vid samma fart, men i verkligheten går det inte att behålla ansatsens fart vid ett så brant upphopp.

Tips

Dela alltid upp starthastigheten i en horisontell och en vertikal komponent, v₀ₓ = v₀·cos(θ) och v₀ᵧ = v₀·sin(θ), som ett första steg innan du sätter in något i övriga formler.
Lös alltid för flygtiden med den vertikala ekvationen innan du räknar ut räckvidden. Räckvidden är horisontell fart gånger den tid du redan räknat fram, aldrig tvärtom.
Välj en riktning som positiv, oftast uppåt, och håll fast vid den genom hela uppgiften. Starthastigheten uppåt blir då positiv och accelerationen g ska stå med minustecken i alla formler.

Testa dig själv

1. En kula rullar av en bordskant med farten 3 m/s. Bordet är 1,0 meter högt. Hur länge är kulan i luften, och hur långt från bordskanten landar den?

Flygtiden ges av bordshöjden: 1,0 = g·t²/2 = 9,82·t²/2, så t² ≈ 0,2036 och t ≈ 0,45 sekunder. Räckvidden är x = v₀ₓ·t = 3 · 0,45 ≈ 1,4 meter från bordskanten.

2. En boll faller rakt ner från ett bord samtidigt som en likadan boll rullar av bordskanten med hög fart. Vilken boll når golvet först?

De når golvet samtidigt. Flygtiden bestäms helt av den vertikala rörelsen och starthöjden, som är lika för båda bollarna. Den horisontella farten påverkar bara hur långt bort den rullande bollen hamnar, inte hur länge den är i luften.

3. Varför ger en kastvinkel på 45 grader den längsta räckvidden för ett kast som landar på samma höjd det startade, jämfört med till exempel 30 eller 60 grader?

Räckvidden är proportionell mot sin(2θ), som har sitt största värde, 1, just när 2θ = 90°, det vill säga θ = 45°. Vid 30 och 60 grader blir 2θ lika med 60° respektive 120°, och eftersom sin(60°) = sin(120°) ger de två vinklarna exakt samma, men kortare, räckvidd.

Ur kursplanen

Fysik nivå 2 · Krafter och rörelse
Harmonisk svängning och centralrörelse samt tvådimensionell rörelse i gravitationsfält och i elektriska fält.

Källa: Skolverket, centralt innehåll.

Bygger på

Träna vidare – gratis

Det här ämnet har inga egna träningsuppgifter än. De här närliggande ämnena har lösta exempel och uppgifter som anpassar sig efter dig: