Tillämpning och formulering av matematiska

Matte 1c

Verkligheten är för rörig för att räkna på exakt. Därför förenklar vi — vi tar de viktigaste sambanden, skriver dem som matematik och räknar på förenklingsversionen. Det kallas att bygga en modell. En modell av din streamingbudget kan se ut så: kostnad = 109 + 89 + 79 (Netflix + Spotify + HBO). Modellen stämmer för en vanlig månad. Men den missar att du kan säga upp en tjänst, att priserna höjs, att du ibland lägger till en extra tjänst. Modellen är sann och falsk på samma gång, beroende på situationen.

Det svåra är inte att bygga modellen — det svåra är att veta vad du väljer bort. Varje modell gör antaganden: att priset inte beror på antalet kunder, att förbrukningen är jämn, att inga oväntade kostnader tillkommer. De antagandena definierar vad modellen kan och inte kan svara på. Att bygga en modell och sedan kritisera den — under vilka omständigheter slutar detta att stämma? — är kärnan i det tänkande du tränar här.

I praktiken börjar du alltid med frågan: vad är x och vad är f(x)? Vad mäter vi och vad vill vi ta reda på? Sedan identifierar du de relevanta sambanden, skriver dem som ett uttryck och räknar. Sista steget — och det steget hoppas ofta över — är att kontrollera om svaret faktiskt låter rimligt och om modellens antaganden håller för just den situationen.

Ur kursplanen: Tillämpning och formulering av matematiska modeller i realistiska situationer. Utvärdering av matematiska modellers egenskaper och begränsningar.

Det här lär du dig

✓Identifiera relevanta variabler i en verklig situation och formulera ett matematiskt samband
✓Avgöra vilka antaganden en modell bygger på och vad de innebär
✓Utvärdera när en modell ger bra svar och när den brister
✓Skilja tydligt mellan frågan som ställs och de beräkningar som utförs

övningstyper

∞

genererade uppgifter

anpassad svårighet

Vanliga utmaningar

Eleven räknar rätt men svarar på fel fråga

Du löser en uppgift korrekt matematiskt men missar vad som egentligen frågades. Läs uppgiften två gånger: första gången för att förstå situationen, andra gången för att identifiera exakt vad du ska ta reda på. Skriv ned det explicit innan du börjar räkna.

Modellen är för enkel för situationen

Att modellera ett mobilabonnemang som kostnad = 99 × månader ignorerar startavgifter, prisökningar och bindningstider. En enkel linjär modell stämmer på kort sikt men ger fel svar på ett år. Diskutera alltid: 'Vad är vi inte med om?'

Variabler namnges inte

Att skriva y = 2x + 5 utan att säga vad y och x är gör modellen meningslös. Tvinga dig själv att skriva 'Låt y = pris i kronor, x = antal dagar' innan du räknar. Enheterna avslöjar om sambandet är rimligt.

Matte i vardagen

Du startar en webshop och modellerar vinst = (pris − kostnad) × antal_sålda. Modellen ser enkel ut — tills du inser att folk köper mindre när priset höjs.

Modellen antar konstant efterfrågan, vilket sällan stämmer. Att känna till begränsningen gör att du inte fattar felaktiga prisbeslut baserade på ett för förenklat samband.

Du planerar ett vattenfiltersystem för skolcafeterian: total_konsumtion = antal_elever × liter_per_dag.

Modellen fungerar i genomsnitt men missar att konsumtionen stiger vid varmt väder och att elevantalet kan förändras nästa år. Begränsningarna är lika viktiga att känna till som modellen själv.

Två bussar startar mot varandra: en från norr med 60 km/h, en från söder med 80 km/h, 280 km mellan hållplatserna. När möts de?

Det är lätt att börja räkna på bussarnas hastigheter utan att ha formulerat frågan. Skriv ned: 'Vi söker t sådant att 60t + 80t = 280.' Formuleringen tvingar dig att modellera rätt problem.

Tips

💡Skriv alltid ner frågan explicit: 'Vi söker X.' Gör det innan du skriver en enda formel. Det låter självklart men hindrar de vanligaste misstagen.
💡Namnge alla variabler med enheter: 'Låt t = tid i timmar, d = distans i kilometer.' Om enheterna inte går ihop är sambandet fel.
💡Testa ett extremvärde efter att du fått ett svar. Vad händer om x = 0? Om x är väldigt stort? Om svaret ser orimligt ut är modellen troligen för förenklad för det fallet.

Exempeluppgifter

Om den totala summan pengar du hade att investera var $2,000 and you deposit $ och du investerade $x$ i en investering, hur kan du uttrycka den återstående summan?
Raúl har $20,000 to invest. His intent is to earn 11% interest on his investment. He can invest part of his money at 8% interest and part at 12% interest. How much does Raúl need to invest in each option to make get a total 11% return on his $20 000 kr?
Formeln för en rektangels omkrets ges av formeln: $P=2l+2w$ . Lös ut l ur denna formel.